Número nogonal centrado

Un número nonagonal centrado (o número eneágono centrado ) es un número figurado centrado que representa un nonágono con un punto en el centro y todos los demás puntos que rodean el punto central en capas nonagonales sucesivas. El número nonagonal centrado para n capas se da mediante la fórmula ^[1]

Nc(n)={\frac {(3n-2)(3n-1)}{2}}.

Al multiplicar el ( n - 1)ésimo número triangular por 9 y luego sumar 1 se obtiene el n- ésimo número nonagonal centrado, pero los números nonagonales centrados tienen una relación aún más simple con los números triangulares: cada tercer número triangular (el 1.º, el 4.º, el 7.º, etc.) también es un número nonagonal centrado. ^[1]

Por lo tanto, los primeros números no-gonales centrados son ^[1]

1 , 10 , 28 , 55 , 91 , 136 , 190 , 253, 325, 406, 496 , 595, 703, 820, 946.

La lista anterior incluye los números perfectos 28 y 496. Todos los números perfectos pares son números triangulares cuyo índice es un primo de Mersenne impar . ^[2] Dado que todo primo de Mersenne mayor que 3 es congruente con 1 módulo 3, se deduce que todo número perfecto par mayor que 6 es un número nonagonal centrado.

En 1850, Sir Frederick Pollock conjeturó que todo número natural es la suma de, como máximo, once números no agonales centrados. ^[3] La conjetura de Pollock se confirmó como cierta en 2023. ^[4]

Relaciones de congruencia

Todos los números nogonales centrados son congruentes con 1 mod 3.
- Por lo tanto, la suma de tres números nogonales centrados y la diferencia de dos números nogonales centrados son divisibles por 3.

Véase también

Número nonagonal

Referencias

^ abc Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A060544 (números nonagonales centrados (también conocidos como nonagonales o eneagonales))". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
^ Koshy, Thomas (2014), Números de Pell y Pell–Lucas con aplicaciones, Springer, pág. 90, ISBN 9781461484899.
^ Dickson, LE (2005), Análisis diofántico, Historia de la teoría de los números , vol. 2, Nueva York: Dover, págs. 22-23, ISBN 9780821819357.
^ Kureš, Miroslav (27 de octubre de 2023). "Una prueba de la conjetura de Pollock sobre números no agonales centrados". The Mathematical Intelligencer . doi :10.1007/s00283-023-10307-0. ISSN 0343-6993.

[oeis-1] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A060544 (números nonagonales centrados (también conocidos como nonagonales o eneagonales))". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

[2] Koshy, Thomas (2014), Números de Pell y Pell–Lucas con aplicaciones, Springer, pág. 90, ISBN 9781461484899.

[3] Dickson, LE (2005), Análisis diofántico, Historia de la teoría de los números , vol. 2, Nueva York: Dover, págs. 22-23, ISBN 9780821819357.

[4] Kureš, Miroslav (27 de octubre de 2023). "Una prueba de la conjetura de Pollock sobre números no agonales centrados". The Mathematical Intelligencer . doi :10.1007/s00283-023-10307-0. ISSN 0343-6993.