Número de cubo centrado

Un número cúbico centrado es un número figurativo centrado que cuenta los puntos en un patrón tridimensional formado por un punto rodeado de capas cúbicas concéntricas de puntos, con i² puntos en las caras cuadradas de la i -ésima capa. De forma equivalente, es el número de puntos en un patrón cúbico centrado en el cuerpo ^dentro de un cubo que tiene n + 1 puntos a lo largo de cada una de sus aristas.

Los primeros números cúbicos centrados son

1 , 9 , 35 , 91 , 189 , 341, 559, 855, 1241, 1729 , 2331, 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009, ... (secuencia A005898 en el OEIS ) .

El número de cubo centrado para un patrón con n capas concéntricas alrededor del punto central viene dado por la fórmula ^{[ 1 ].}

${\displaystyle n^{3}+(n+1)^{3}=(2n+1)\left(n^{2}+n+1\right).}$

El mismo número también puede expresarse como un número trapezoidal (diferencia de dos números triangulares ), o como una suma de números consecutivos, como ^{[ 2 ].}

${\displaystyle {\binom {(n+1)^{2}+1}{2}}-{\binom {n^{2}+1}{2}}=(n^{2}+1)+(n^{2}+2)+\cdots +(n+1)^{2}.}$

Debido a la factorización (2 n + 1)( n ² + n + 1) , es imposible que un número cúbico centrado sea un número primo . ^{[ 3 ]} Los únicos números cúbicos centrados que también son números cuadrados son  1 y 9, ^{[ 4 ] [ 5 ]} lo que se puede demostrar resolviendo x ² = y ³ + 3 y , las únicas soluciones enteras son (x,y) de {(0,0), (1,2), (3,6), (12,42)}, Al sustituir a=(x-1)/2 y b=y/2, obtenemos x^2=2y^3+3y^2+3y+1. Esto da solo (a,b) de {(-1/2,0), (0,1), (1,3), (11/2,21)} donde a,b son semi-enteros.

• número cúbico

• Weisstein, Eric W. "Número cúbico centrado" . MathWorld .