función continua de Cauchy

En matemáticas , una función continua de Cauchy , o regular de Cauchy , es un tipo especial de función continua entre espacios métricos (o espacios más generales). Las funciones continuas de Cauchy tienen la útil propiedad de que siempre pueden extenderse (de forma única) a la completación de Cauchy de su dominio.

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean espacios métricos y sea${\displaystyle f:X\to Y}$ser una función de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y.}$Entonces${\displaystyle f}$es Cauchy-continua si y solo si, dada cualquier secuencia de Cauchy${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$en${\displaystyle X,}$la secuencia${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),\ldots \right)}$es una secuencia de Cauchy en${\displaystyle Y.}$

Toda función uniformemente continua es también Cauchy-continua. Recíprocamente, si el dominio${\displaystyle X}$Si está totalmente acotada , entonces toda función continua de Cauchy es uniformemente continua. De manera más general, incluso si${\displaystyle X}$no está totalmente acotada, una función en${\displaystyle X}$es Cauchy-continua si y solo si es uniformemente continua en cada subconjunto totalmente acotado de${\displaystyle X.}$

Toda función continua de Cauchy es continua . Por el contrario, si el dominio${\displaystyle X}$es completa , entonces toda función continua es Cauchy-continua. Más generalmente, incluso si${\displaystyle X}$no está completo, siempre y cuando${\displaystyle Y}$es completa, entonces cualquier función continua de Cauchy de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$puede extenderse a una función continua (y por lo tanto continua de Cauchy) definida en la completación de Cauchy de${\displaystyle X;}$Esta extensión es necesariamente única.

Combinando estos hechos, si${\displaystyle X}$es compacto , entonces mapas continuos, mapas continuos de Cauchy y mapas uniformemente continuos en${\displaystyle X}$son todos iguales.

Desde la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$es completo, funciones continuas en${\displaystyle \mathbb {R} }$son Cauchy-continuas. En el subespacio${\displaystyle \mathbb {Q} }$Sin embargo, en el caso de los números racionales , las cosas son diferentes. Por ejemplo, definamos una función bivaluada de modo que${\displaystyle f(x)}$es${\displaystyle 0}$cuando${\displaystyle x^{2}}$es menor que${\displaystyle 2}$pero${\displaystyle 1}$cuando${\displaystyle x^{2}}$es mayor que${\displaystyle 2.}$(Tenga en cuenta que${\displaystyle x^{2}}$nunca es igual a${\displaystyle 2}$para cualquier número racional${\displaystyle x.}$) Esta función es continua en${\displaystyle \mathbb {Q} }$pero no Cauchy-continuo, ya que no se puede extender continuamente a${\displaystyle \mathbb {R} .}$Por otro lado, cualquier función uniformemente continua en${\displaystyle \mathbb {Q} }$debe ser Cauchy-continua. Para un ejemplo no uniforme en${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$dejar${\displaystyle f(x)}$ser${\displaystyle 2^{x}}$; esto no es uniformemente continuo (en todo el${\displaystyle \mathbb {Q} }$), pero es Cauchy-continua. (Este ejemplo funciona igualmente bien en${\displaystyle \mathbb {R} .}$)

Una secuencia de Cauchy${\displaystyle \left(y_{1},y_{2},\ldots \right)}$en${\displaystyle Y}$puede identificarse con una función continua de Cauchy de${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}}$a${\displaystyle Y,}$definido por${\displaystyle f\left(1/n\right)=y_{n}.}$Si${\displaystyle Y}$una vez completado, esto se puede extender a${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}\cup \{0\};}$${\displaystyle f(0)}$será el límite de la sucesión de Cauchy.

La continuidad de Cauchy tiene sentido en situaciones más generales que los espacios métricos, pero entonces hay que pasar de secuencias a redes (o equivalentemente a filtros ). La definición anterior se aplica siempre que la secuencia de Cauchy${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$se reemplaza con una red de Cauchy arbitraria . De forma equivalente, una función${\displaystyle f}$es Cauchy-continua si y solo si, dado cualquier filtro de Cauchy${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$es un filtro de Cauchy basado en${\displaystyle Y.}$Esta definición coincide con la anterior en espacios métricos, pero también funciona para espacios uniformes y, de forma más general, para espacios de Cauchy .

Cualquier conjunto dirigido${\displaystyle A}$puede convertirse en un espacio de Cauchy. Luego, dado cualquier espacio${\displaystyle Y,}$las redes de Cauchy en${\displaystyle Y}$indexado por${\displaystyle A}$son las mismas que las funciones continuas de Cauchy de${\displaystyle A}$a${\displaystyle Y.}$Si${\displaystyle Y}$una vez completada, entonces la extensión de la función a${\displaystyle A\cup \{\infty \}}$dará el valor del límite de la red. (Esto generaliza el ejemplo de secuencias anterior, donde 0 debe interpretarse como${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}.}$)

• Espacio de Cauchy : concepto en topología y análisis general. 
• Teorema de Heine-Cantor

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Clases de funciones de mapas continuos de Cauchy . Dekker, Nueva York.