Número de pastel

En matemáticas , el número de pastel , denotado por C _n , es el máximo del número de regiones en las que un cubo tridimensional puede dividirse mediante exactamente n planos . Se le llama así porque cada partición del cubo mediante un plano puede imaginarse como una rebanada cortada con un cuchillo a través de un pastel cúbico . Es el análogo tridimensional de la secuencia del proveedor de catering perezoso .

Los valores de C _n para n = 0, 1, 2, ... están dados por 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, ... (secuencia A000125 en el OEIS ) .

Si n ! denota el factorial , y denotamos los coeficientes binomiales por

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(nk)!}},}$

y suponemos que hay n planos disponibles para particionar el cubo, entonces el n -ésimo número de pastel es: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle C_{n}={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}={\tfrac {1}{6}}\!\left(n^{3}+5n+6\right)={\tfrac {1}{6}}(n+1)\left(n(n-1)+6\right).}$

Los números de pastel son el análogo tridimensional de la secuencia bidimensional del proveedor de catering perezoso . La diferencia entre números de pastel sucesivos también da la secuencia del proveedor de catering perezoso. ^{[ 1 ]}

La cuarta columna del triángulo de Bernoulli ( k = 3) da los números de pastel para n cortes, donde n ≥ 3.

La secuencia puede derivarse alternativamente de la suma de hasta los primeros 4 términos de cada fila del triángulo de Pascal : ^{[ 2 ]}

En n dimensiones espaciales (no espaciotemporales), las ecuaciones de Maxwell representan${\displaystyle C_{n}}$diferentes ecuaciones independientes de valor real.

• Dividir un círculo en áreas (problema del círculo de Moser)
• Secuencia del proveedor de catering perezoso
• Teorema de la pizza

• Eric Weisstein. "División del espacio por planos" . MathWorld . Consultado el 14 de enero de 2021 .
• Eric Weisstein. "Número de pastel" . MathWorld . Consultado el 14 de enero de 2021 .