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Articulo de referencia

Puerta NOT controlada

El análogo clásico de la puerta CNOT es una puerta XOR reversible . Cómo se puede utilizar la puerta CNOT (junto con las puertas Hadamard ) en un cálculo. En informática , la pu...

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El análogo clásico de la puerta CNOT es una puerta XOR reversible .
Cómo se puede utilizar la puerta CNOT (junto con las puertas Hadamard ) en un cálculo.

En informática , la puerta NOT controlada (también C-NOT o CNOT ), puerta X controlada , puerta de inversión de bit controlada , puerta de Feynman o Pauli-X controlada es una puerta lógica cuántica que constituye un componente esencial en la construcción de un ordenador cuántico basado en puertas . Se puede utilizar para entrelazar y desenredar estados de Bell . Cualquier circuito cuántico puede simularse con un grado de precisión arbitrario mediante una combinación de puertas CNOT y rotaciones de un solo cúbit . [ 1 ] [ 2 ] La puerta a veces recibe su nombre de Richard Feynman , quien desarrolló una notación temprana para diagramas de puertas cuánticas en 1986. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

El CNOT se puede expresar en la base de Pauli como:

CNOT=miiπ4(I1−Z1)(I2−incógnita2)=mi−iπ4(I1−Z1)(I2−incógnita2).{\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}.}

Al ser unitario y hermitiano , CNOT posee la propiedadmiiθU=(porque⁡θ)I+(ipecado⁡θ)U{\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}yU=miiπ2(I−U)=mi−iπ2(I−U){\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(IU)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(IU)}}y es involutivo .

La puerta CNOT se puede descomponer aún más como productos de puertas de operador de rotación y exactamente una puerta de interacción de dos cúbits , por ejemplo

CNOT=mi−iπ4Ry1(−π/2)Rincógnita1(−π/2)Rincógnita2(−π/2)Rincógnitaincógnita(π/2)Ry1(π/2).{\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).}

En general, cualquier puerta unitaria de un solo cúbit se puede expresar comoU=miiH{\displaystyle U=e^{iH}}, donde H es una matriz hermitiana , y entonces la U controlada esdoU=mii12(I1−Z1)H2{\displaystyle CU=e^{i{\frac {1}{2}}(I_{1}-Z_{1})H_{2}}}.

La puerta CNOT también se utiliza en la computación reversible clásica .

Operación

La puerta CNOT opera sobre un registro cuántico que consta de 2 cúbits. La puerta CNOT invierte el segundo cúbit (el cúbit objetivo) si y solo si el primer cúbit (el cúbit de control) es|1⟩{\displaystyle |1\rangle }.

Si{|0⟩,|1⟩}{\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}son los únicos valores de entrada permitidos para ambos cúbits, entonces la salida TARGET de la puerta CNOT corresponde al resultado de una puerta XOR clásica . Fijando CONTROL como|1⟩{\displaystyle |1\rangle }, la salida TARGET de la puerta CNOT produce el resultado de una puerta NOT clásica .

En términos más generales, se permite que las entradas sean una superposición lineal de{|0⟩,|1⟩}{\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}. La puerta CNOT transforma el estado cuántico :

a|00⟩+b|01⟩+do|10⟩+d|11⟩{\displaystyle a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }

en:

a|00⟩+b|01⟩+do|11⟩+d|10⟩{\displaystyle a|00\rangle +b|01\rangle +c|11\rangle +d|10\rangle }

La acción de la puerta CNOT se puede representar mediante la matriz ( en forma de matriz de permutación ):

CNOT=[1000010000010010].{\displaystyle \operatorname {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}

La primera realización experimental de una puerta CNOT se logró en 1995. En este caso, se utilizó un único ion de berilio en una trampa . Los dos cúbits se codificaron en un estado óptico y en el estado vibracional del ion dentro de la trampa. En el momento del experimento, la fiabilidad del funcionamiento de la puerta CNOT se midió en el orden del 90 %. [ 6 ]

Además de una puerta NOT controlada convencional, se puede construir una puerta NOT controlada por función, que acepta como entrada un número arbitrario n + 1 de cúbits, donde n + 1 es mayor o igual que 2 (un registro cuántico ). Esta puerta invierte el último cúbit del registro si y solo si una función integrada, con los primeros n cúbits como entrada, devuelve un 1. La puerta NOT controlada por función es un elemento esencial del algoritmo de Deutsch-Jozsa .

Comportamiento en la base transformada de Hadamard

Cuando se considera únicamente desde la perspectiva computacional.{|0⟩,|1⟩}{\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}El comportamiento de la compuerta C NOT parece similar al de la compuerta clásica equivalente. Sin embargo, la simplicidad de etiquetar un cúbit como control y el otro como objetivo no refleja la complejidad de lo que sucede para la mayoría de los valores de entrada de ambos cúbits.

Puerta CNOT en base transformada de Hadamard.

Se puede obtener información valiosa expresando la puerta CNOT con respecto a una base transformada de Hadamard.{|+⟩,|−⟩}{\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}. La base transformada de Hadamard [ a ] de un registro de un cúbit viene dada por

|+⟩=12(|0⟩+|1⟩),|−⟩=12(|0⟩−|1⟩),{\displaystyle |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ),\qquad |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ),}

y la base correspondiente de un registro de 2 cúbits es

|++⟩=|+⟩⊗|+⟩=12(|0⟩+|1⟩)⊗(|0⟩+|1⟩)=12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩){\displaystyle |++\rangle =|+\rangle \otimes |+\rangle ={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )},

etc. Al observar CNOT en esta base, el estado del segundo cúbit permanece inalterado, y el estado del primer cúbit se invierte, según el estado del segundo bit. (Para más detalles, véase más abajo). "Así, en esta base se invierte el sentido de qué bit es el bit de control y cuál el bit objetivo . Pero no hemos cambiado la transformación en absoluto, solo la forma en que la concebimos." [ 7 ]

La base "computacional"{|0⟩,|1⟩}{\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}es la base propia para el espín en la dirección Z, mientras que la base de Hadamard{|+⟩,|−⟩}{\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}es la base propia para el espín en la dirección X. Al intercambiar X y Z y los cúbits 1 y 2, se recupera la transformación original." [ 8 ] Esto expresa una simetría fundamental de la puerta CNOT.

La observación de que ambos cúbits se ven afectados (por igual) en una interacción C NOT es importante al considerar el flujo de información en sistemas cuánticos entrelazados. [ 9 ]

Detalles del cálculo

We now proceed to give the details of the computation. Working through each of the Hadamard basis states, the results on the right column show that the first qubit flips between |+⟩{\displaystyle |+\rangle } and |−⟩{\displaystyle |-\rangle } when the second qubit is |−⟩{\displaystyle |-\rangle }:

A quantum circuit that performs a Hadamard transform followed by CNOT then another Hadamard transform, can be described as performing the CNOT gate in the Hadamard basis (i.e. a change of basis):

(H1 ⊗ H1)−1 . CNOT . (H1 ⊗ H1)

The single-qubit Hadamard transform, H1, is Hermitian and its own inverse. The tensor product of two Hadamard transforms operating (independently) on two qubits is labelled H2. We can therefore write the matrices as:

H2 . CNOT . H2

When multiplied out, this yields a matrix that swaps the |01⟩{\displaystyle |01\rangle } and |11⟩{\displaystyle |11\rangle } terms over, while leaving the |00⟩{\displaystyle |00\rangle } and |10⟩{\displaystyle |10\rangle } terms alone. This is equivalent to a CNOT gate where qubit 2 is the control qubit and qubit 1 is the target qubit:[b]

12[11111−11−111−1−11−1−11].[1000010000010010].12[11111−11−111−1−11−1−11]=[1000000100100100]{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}

Constructing a Bell state

A common application of the CNOT gate is to maximally entangle two qubits into the |Φ+⟩{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }Bell state; this forms part of the setup of the superdense coding, quantum teleportation, and entangled quantum cryptography algorithms.

To construct |Φ+⟩{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }, the inputs A (control) and B (target) to the CNOT gate are

12(|0⟩+|1⟩)A{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )_{A}} and |0⟩B{\displaystyle |0\rangle _{B}}.

After applying CNOT, the resulting Bell state 12(|00⟩+|11⟩){\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )} has the property that the individual qubits can be measured using any basis and will always present a 50/50 chance of resolving to each state. In effect, the individual qubits are in an undefined state. The correlation between the two qubits is the complete description of the state of the two qubits; if we both choose the same basis to measure both qubits and compare notes, the measurements will perfectly correlate.

When viewed in the computational basis, it appears that qubit A is affecting qubit B. Changing our viewpoint to the Hadamard basis demonstrates that, in a symmetrical way, qubit B is affecting qubit A.

The input state can alternately be viewed as

|+⟩A{\displaystyle |+\rangle _{A}} and 12(|+⟩+|−⟩)B{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle +|-\rangle )_{B}}.

In the Hadamard view, the control and target qubits have conceptually swapped and qubit A is inverted when qubit B is |−⟩B{\displaystyle |-\rangle _{B}}. The output state after applying the CNOT gate is 12(|++⟩+|−−⟩),{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle ),} which can be shown as follows:

=12(|+⟩A|+⟩B+|−⟩A|−⟩B){\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle _{A}|+\rangle _{B}+|-\rangle _{A}|-\rangle _{B})}
=122((|0⟩A+|1⟩A)(|0⟩B+|1⟩B)+(|0⟩A−|1⟩A)(|0⟩B−|1⟩B)){\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|0\rangle _{A}+|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}+|1\rangle _{B})+(|0\rangle _{A}-|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}-|1\rangle _{B}))}
=122((|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)+(|00⟩−|01⟩−|10⟩+|11⟩)){\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )+(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle ))}
=12(|00⟩+|11⟩).{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle ).}

C-ROT gate

La puerta C-ROT ( rotación Rabi controlada ) es equivalente a una puerta C-NOT excepto por unaπ/2{\displaystyle \pi /2}rotación del espín nuclear alrededor del eje z. [ 10 ] [ 11 ]

Implementaciones

Computadoras cuánticas de iones atrapados :

Regulación

En mayo de 2024, Canadá implementó restricciones a la exportación de computadoras cuánticas con más de 34 cúbits y tasas de error inferiores a un determinado umbral de error CNOT , además de restricciones para computadoras cuánticas con más cúbits y tasas de error más altas. [ 12 ] Las mismas restricciones surgieron rápidamente en el Reino Unido, Francia, España y los Países Bajos. Ofrecieron pocas explicaciones para esta medida, pero todos ellos son Estados del Acuerdo de Wassenaar , y las restricciones parecen estar relacionadas con preocupaciones de seguridad nacional, que podrían incluir la criptografía cuántica o la protección frente a la competencia . [ 13 ] [ 14 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Tenga en cuenta que|+⟩{\displaystyle |+\rangle }se puede construir aplicando una puerta Hadamard a un conjunto de cúbits|0⟩{\displaystyle |0\rangle }y de manera similar para|−⟩{\displaystyle |-\rangle }
  2. ↑ Es decir,H2⋅CNOT⋅H2=INTERCAMBIO⋅CNOT⋅INTERCAMBIO{\displaystyle H_{2}\cdot \operatorname {CNOT} \cdot H_{2}=\operatorname {SWAP} \cdot \operatorname {CNOT} \cdot \operatorname {SWAP} }dóndeINTERCAMBIO{\displaystyle \operatorname {SWAP} }es la puerta SWAP .

Referencias

  1. ↑ Barenco, Adriano; Bennett, Charles H.; Cleve, Richard; DiVincenzo, David P.; Margolus, Norman; Shor, Peter; Sleator, Tycho; Smolin, John A.; Weinfurter, Harald (1995-11-01). "Elementary gates for quantum computation". Physical Review A . 52 (5). American Physical Society (APS): 3457– 3467. arXiv : quant-ph/9503016 . Bibcode : 1995PhRvA..52.3457B . doi : 10.1103/physreva.52.3457 . ISSN 1050-2947 . PMID 9912645 . S2CID 8764584 .   
  2. ↑ Nielsen, Michael A.; Chuang , Isaac (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63235-8OCLC 43641333​​ 
  3. ↑ Feynman, Richard P. (1986). "Computadoras mecánicas cuánticas" . Foundations of Physics . 16 (6): 507– 531. Bibcode : 1986FoPh...16..507F . doi : 10.1007/BF01886518 . ISSN 0015-9018 . S2CID 121736387 .  
  4. ↑ Samrin, S. Saniya; Patil, Rachamma; Itagi, Sumangala; Chetti, Smita C; Tasneem, Afiya (2022-06-01). "Diseño de compuertas lógicas usando compuertas reversibles con costo cuántico reducido" . Actas de Global Transitions . Conferencia Internacional sobre Enfoque de Ingeniería Inteligente (ICIEA-2022). 3 (1): 136– 141. Bibcode : 2022GloTP...3..136S . doi : 10.1016/j.gltp.2022.04.011 . ISSN 2666-285X . 
  5. ↑ Thapliyal, Himanshu; Ranganathan, Nagarajan (2009). "Diseño de restadores binarios reversibles eficientes basados ​​en una nueva puerta reversible". Simposio anual de la IEEE Computer Society sobre VLSI de 2009. págs. 229–234 . doi : 10.1109/ISVLSI.2009.49 . ISBN  978-1-4244-4408-3. S2CID 16182781 . 
  6. ↑ Monroe, C.; Meekhof, D.; King, B.; Itano, W.; Wineland, D. (1995). "Demostración de una puerta lógica cuántica fundamental" . Physical Review Letters . 75 (25): 4714– 4717. Bibcode : 1995PhRvL..75.4714M . doi : 10.1103/PhysRevLett.75.4714 . PMID 10059979 . 
  7. ↑ Eleanor G. Rieffel ; Wolfgang H. Polak (4 de marzo de 2011). Computación cuántica: una introducción sencilla . Cambridge, Mass.: MIT Press. pág. 80. ISBN 978-0-262-01506-6OCLC 742513505​​ 
  8. ↑ Gottesman, Daniel (1998). SP Corney; R. Delbourgo; PD Jarvis (eds.). "La representación de Heisenberg de las computadoras cuánticas". Grupo: Actas del XXII Coloquio Internacional sobre Métodos Teóricos de Grupo en Física . 22 (1999). Cambridge, MA: International Press: 32– 43. arXiv : quant-ph/9807006 . Bibcode : 1998quant.ph..7006G .
  9. ↑ Deutsch, David; Hayden, Patrick (1999). "Flujo de información en sistemas cuánticos entrelazados". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 456 (1999): 1759–1774 . arXiv : quant-ph/9906007 . Bibcode : 2000RSPSA.456.1759D . doi : 10.1098/rspa.2000.0585 . S2CID 13998168 . 
  10. ↑ Chen, Pochung; Piermarocchi, C.; Sham, LJ (18 de julio de 2001). "Control de la dinámica de excitones en nanodots para operaciones cuánticas". Physical Review Letters . 87 (6) 067401. arXiv : cond-mat/0102482 . Bibcode : 2001PhRvL..87f7401C . doi : 10.1103/PhysRevLett.87.067401 . PMID 11497860 . S2CID 9513778 .  
  11. ↑ Piermarocchi, C.; Chen, Pochung; Sham, LJ; Steel, DG (30 de septiembre de 2002). "Interacción óptica RKKY entre puntos cuánticos semiconductores cargados". Physical Review Letters . 89 (16) 167402. arXiv : cond-mat/0202331 . Bibcode : 2002PhRvL..89p7402P . doi : 10.1103/PhysRevLett.89.167402 . PMID 12398754 . S2CID 12550748 .  
  12. ↑ Gobierno de Canadá, Obras Públicas y Servicios Gubernamentales de Canadá (19 de junio de 2024). «Gaceta de Canadá, Parte 2, Volumen 158, Número 13: Orden que modifica la Lista de Control de Exportaciones» . gazette.gc.ca . Consultado el 7 de julio de 2024 .
  13. ↑ Sparkes, Matthew (3 de julio de 2024). "Varias naciones implementan misteriosos controles de exportación sobre computadoras cuánticas" . New Scientist . Consultado el 7 de julio de 2024 .
  14. ↑ Grimm, Dallin (6 de julio de 2024). «Misteriosas restricciones a la computación cuántica se extienden por varios países: el Reino Unido alega riesgos para la seguridad nacional y se niega a dar más detalles» . Tom's Hardware . Consultado el 7 de julio de 2024 .
  • Michael Westmoreland: "Aislamiento y flujo de información en la dinámica cuántica": debate en torno a la puerta lógica Cnot.
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