Teorema de Bruck-Ryser-Chowla

El teorema de Bruck - Ryser - Chowla es un resultado sobre la combinatoria de diseños de bloques simétricos que implica la no existencia de ciertos tipos de diseño. Establece que si existe un diseño ( v , b , r , k , λ ) con v = b (lo que implica k = r y λ ( v -1) = k ( k -1) ), entonces:

• Si v es par, entonces k − λ es un cuadrado;
• Si v es impar, entonces la siguiente ecuación diofántica tiene una solución no trivial:

  x ² − ( k − λ) y ² − (−1) ^{( v −1)/2} λ z ² = 0 .

El teorema fue demostrado en el caso de planos proyectivos por Bruck y Ryser (1949) . Fue extendido a diseños simétricos por Chowla y Ryser (1950) .

En el caso especial de un diseño simétrico con λ = 1, es decir, un plano proyectivo , el teorema (que en este caso se denomina teorema de Bruck-Ryser ) se puede enunciar de la siguiente manera: Si existe un plano proyectivo finito de orden q y q es congruente con 1 o 2 (mod 4), entonces q debe ser la suma de dos cuadrados. Nótese que para un plano proyectivo, los parámetros de diseño son v = b = q² + q + 1, r = k = q + 1, λ = 1. Por lo tanto, ^v siempre es impar en este caso.

El teorema, por ejemplo, descarta la existencia de planos proyectivos de órdenes 6 y 14, pero permite la existencia de planos de órdenes 10 y 12. Dado que se ha demostrado que un plano proyectivo de orden 10 no existe mediante una combinación de teoría de la codificación y búsqueda computacional a gran escala, ^{[ 1 ]} la condición del teorema evidentemente no es suficiente para la existencia de un diseño. Sin embargo, no se conoce ningún criterio de no existencia general más fuerte.

La existencia de un diseño simétrico ( v , b , r , k , λ) es equivalente a la existencia de una matriz de incidencia v × v R con elementos 0 y 1 que satisfacen

R R ^T = ( k − λ) I + λ J

donde I es la matriz identidad v × v y J es la matriz v × v de unos. En esencia, el teorema de Bruck-Ryser-Chowla es un enunciado de las condiciones necesarias para la existencia de una matriz racional v × v R que satisfaga esta ecuación. De hecho, las condiciones enunciadas en el teorema de Bruck-Ryser-Chowla no solo son necesarias, sino también suficientes para la existencia de dicha matriz racional R. Se pueden derivar del teorema de Hasse-Minkowski sobre la equivalencia racional de formas cuadráticas .

• Bruck, RH; Ryser, HJ (1949), "La no existencia de ciertos planos proyectivos finitos", Canadian Journal of Mathematics , 1 : 88–93 , doi : 10.4153/cjm-1949-009-2 , S2CID 123440808 
• Chowla, S.; Ryser, HJ (1950), "Problemas combinatorios", Canadian Journal of Mathematics , 2 : 93–99 , doi : 10.4153/cjm-1950-009-8 , S2CID 247194753 
• Lam, CWH (1991), "La búsqueda de un plano proyectivo finito de orden 10" , American Mathematical Monthly , 98 (4): 305–318 , doi : 10.2307/2323798 , JSTOR 2323798 
• van Lint, JH y RM Wilson (1992), Un curso de combinatoria . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press.

• Weisstein, Eric W. , "Teorema de Bruck-Ryser-Chowla" , MathWorld