Diagonal rota

En matemáticas recreativas y en la teoría de los cuadrados mágicos , una diagonal rota es un conjunto de n celdas que forman dos líneas diagonales paralelas en el cuadrado. Alternativamente, estas dos líneas pueden considerarse como si rodearan los límites del cuadrado para formar una única secuencia.

Un cuadrado mágico en el que la suma de las diagonales rotas es la misma que la suma de las filas, columnas y diagonales se denomina cuadrado mágico pandiagonal . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Ejemplos de diagonales rotas del cuadrado numérico en la imagen son los siguientes: 3,12,14,5; 10,1,7,16; 10,13,7,4; 15,8,2,9; 15,12,2,5; y 6,13,11,4.

El hecho de que este cuadrado sea un cuadrado mágico pandiagonal se puede verificar comprobando que la suma de todas sus diagonales rotas sea la misma constante:

3+12+14+5 = 34

10+1+7+16 = 34

10+13+7+4 = 34

Una forma de visualizar una diagonal rota es imaginar una "imagen fantasma" del cuadrado panmágico adyacente al original:

El conjunto de números {3, 12, 14, 5} de una diagonal rota, que envuelve el cuadrado original, se puede ver comenzando con el primer cuadrado de la imagen fantasma y moviéndose hacia abajo a la izquierda.

Las diagonales rotas se utilizan en una fórmula para hallar el determinante de matrices de 3 por 3 .

Para una matriz A de 3 × 3 , su determinante es

${\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}\\[3pt]&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{v matriz}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\[3pt]&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}$^{[ 3 ]}

Aquí,${\displaystyle bfg,cdh,bdi,}$y${\displaystyle afh}$son (productos de los elementos de) las diagonales rotas de la matriz.

Las diagonales rotas se utilizan en el cálculo de los determinantes de todas las matrices de tamaño 3 × 3 o mayor. Esto se puede demostrar utilizando los menores de la matriz para calcular el determinante.