Hiperrectángulo

En geometría , un hiperrectángulo (también llamado caja , hipercaja , -celda u ortotopo ^{[ 2 ]} ) es la generalización de un rectángulo (una figura plana ) y del cuboide rectangular (una figura sólida ) a dimensiones superiores . Una condición necesaria y suficiente es que sea congruente con el producto cartesiano de intervalos finitos . ^{[ 3 ]} Esto significa que un sólido rectangular -dimensional tiene cada una de sus aristas igual a uno de los intervalos cerrados utilizados en la definición. Toda -celda es compacta . ^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Si todas las aristas tienen la misma longitud, es un hipercubo . Un hiperrectángulo es un caso especial de paralelepípedo .

Para cada entero desde hasta , sean y números reales tales que . El conjunto de todos los puntos en cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades es una -celda . ^{[ 6 ]}${\displaystyle i}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle a_{i}<b_{i}}$${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{k})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}}$${\displaystyle k}$

Una celda de dimensión es especialmente simple. Por ejemplo, una celda de dimensión 1 es simplemente el intervalo con . Una celda de dimensión 2 es el rectángulo formado por el producto cartesiano de dos intervalos cerrados, y una celda de dimensión 3 es un sólido rectangular. ${\displaystyle k}$${\displaystyle k\leq 3}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a<b}$

Los lados y las aristas de una celda no tienen por qué ser iguales en longitud (euclidiana); aunque el cubo unitario (que tiene límites de igual longitud euclidiana) es una celda de 3 lados, el conjunto de todas las celdas de 3 lados con aristas de igual longitud es un subconjunto estricto del conjunto de todas las celdas de 3 lados. ${\displaystyle k}$

Un ortotopo de cuatro dimensiones es probablemente un hipercuboide. ^{[ 7 ]}

El caso especial de un ortotopo n- dimensional donde todos los bordes tienen la misma longitud es el n - cubo o hipercubo. ^{[ 2 ]}

Por analogía, el término "hiperrectángulo" puede referirse a productos cartesianos de intervalos ortogonales de otros tipos, como rangos de claves en la teoría de bases de datos o rangos de enteros , en lugar de números reales . ^{[ 8 ]}

El politopo dual de un n -ortotopo ha recibido diversos nombres: n-ortoplexo rectangular , n - fusil rómbico o n - rombo . Está formado por 2n puntos situados en el centro de las caras rectangulares del ortotopo.

El símbolo de Schläfli de un n- fusil se puede representar mediante una suma de n segmentos de línea ortogonales: { } + { } + ... + { } o n { }.

Un 1-fusil es un segmento de línea . Un 2-fusil es un rombo . Sus selecciones de cruces planas en todos los pares de ejes son rombos .

• Rectángulo delimitador mínimo
• Cuboides
• cubo de Hilbert

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973). Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover. págs.  122–123 . ISBN 0-486-61480-8.

• Weisstein, Eric W. "Ortotopo" . MathWorld .
• Foran, James (7 de enero de 1991). Fundamentos del análisis real . CRC Press. ISBN 9780824784539Consultado el 23 de mayo de 2014 .
• Rudin, Walter (1976). Principios de análisis matemático . McGraw-Hill.