Loterías máximas

Las loterías máximas son una regla de votación probabilística que utiliza papeletas de voto clasificadas y devuelve una lotería entre candidatos que, en promedio, la mayoría de los votantes preferirá a cualquier otro. Formalmente, la regla tiene la propiedad de que, al promediar una serie de enfrentamientos directos repetidos, al menos la mitad de todos los votantes preferirán el resultado de una lotería máxima al resultado producido por cualquier otra regla de votación . ^{[ 1 ]}

Las loterías máximas satisfacen una amplia gama de propiedades deseables: eligen al ganador de Condorcet con probabilidad 1 si existe ^{[ 1 ]} y nunca eligen candidatos fuera del conjunto de Smith . ^{[ 1 ]} Además, satisfacen la independencia de clones . ^{[ 2 ]} La regla de votación probabilística que devuelve todas las loterías máximas es la única regla que satisface el refuerzo, la consistencia de Condorcet y la independencia de clones. ^{[ 2 ]} La función de bienestar social que clasifica las loterías máximas se ha caracterizado de forma única utilizando la independencia de Arrow de alternativas irrelevantes y la eficiencia de Pareto . ^{[ 3 ]}

Las loterías máximas no satisfacen la noción estándar de resistencia a la manipulación estratégica, ya que Allan Gibbard ha demostrado que solo las dictaduras aleatorias pueden satisfacer la resistencia a la manipulación estratégica y la eficiencia ex post. ^{[ 4 ]} Las loterías máximas también son no monótonas en probabilidades, lo que significa que es posible que la probabilidad de una alternativa disminuya si esta alternativa aumenta. ^{[ 1 ]} Sin embargo, satisfacen la monotonicidad relativa, la probabilidad de${\displaystyle x}$en relación con la de${\displaystyle y}$no disminuye cuando${\displaystyle x}$se ha mejorado con respecto a${\displaystyle y}$. ^{[ 5 ]}

La lotería máxima satisface algunas generalizaciones del refuerzo ^{[ 2 ]} y la participación ^{[ 6 ]} al caso no determinista: la probabilidad de superioridad supera el 50%, lo que significa que un votante preferirá el resultado que obtiene al participar al que obtiene al no participar más de la mitad de las veces. ^{[ 6 ]} Sin embargo, una lotería máxima aún puede presentar una paradoja de no participación en el sentido de la utilidad esperada , por lo que un votante siente que la lotería que obtiene al votar es peor (tiene una utilidad esperada menor) que la lotería que recibiría si no hubiera participado.

El soporte de loterías máximas, que se conoce como el conjunto esencial o elEl conjunto bipartidista se ha estudiado en detalle. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

Las loterías máximas fueron propuestas por primera vez por el matemático y científico social francés Germain Kreweras en 1965 ^{[ 11 ]} y popularizadas por Peter Fishburn . ^{[ 1 ]} Desde entonces, han sido redescubiertas en múltiples ocasiones por economistas, ^{[ 8 ]} matemáticos, ^{[ 1 ] [ 12 ]} politólogos, filósofos, ^{[ 13 ]} e informáticos. ^{[ 14 ]}

Se han observado varias dinámicas naturales que convergen a loterías máximas en biología, física, química y aprendizaje automático. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

La entrada a este sistema de votación consiste en las preferencias ordinales de los agentes sobre los resultados (no en loterías sobre alternativas), pero se puede construir una relación en el conjunto de loterías de la siguiente manera: si${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$¿Son las loterías una alternativa?${\displaystyle p\succ q}$si el valor esperado del margen de victoria de un resultado seleccionado con distribución${\displaystyle p}$en una votación cara a cara contra un resultado seleccionado con distribución${\displaystyle q}$es positivo. En otras palabras,${\displaystyle p\succ q}$si es más probable que un votante seleccionado al azar prefiera las alternativas muestreadas de${\displaystyle p}$a la alternativa muestreada de${\displaystyle q}$que viceversa. ^{[ 3 ]} Si bien esta relación no es necesariamente transitiva, siempre admite al menos un elemento maximal.

Es posible que existan varias loterías máximas como resultado de empates. Sin embargo, la lotería máxima es única cuando el número de votantes es impar. ^{[ 18 ]} Siguiendo el mismo razonamiento, el conjunto bipartidista se define de forma única tomando el soporte de la única lotería máxima que resuelve un juego de torneo. ^{[ 8 ]}

Las loterías máximas son equivalentes a estrategias maximin mixtas (o equilibrios de Nash ) del juego simétrico de suma cero, dadas por los márgenes de mayoría por pares. Por lo tanto, tienen una interpretación natural en términos de competencia electoral entre dos partidos políticos ^{[ 19 ]} y pueden calcularse en tiempo polinomial mediante programación lineal.

Supongamos que hay cinco votantes que tienen las siguientes preferencias sobre tres alternativas:

• 2 votantes:${\displaystyle a\succ b\succ c}$
• 2 votantes:${\displaystyle b\succ c\succ a}$
• 1 votante:${\displaystyle c\succ a\succ b}$

Las preferencias por pares de los votantes se pueden representar en la siguiente matriz antisimétrica , donde la entrada para la fila${\displaystyle x}$y columna${\displaystyle y}$denota el número de votantes que prefieren${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$menos el número de votantes que prefieren${\displaystyle y}$a${\displaystyle x}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&&a\quad &b\quad &c\quad \\\end{matrix}}\\{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}{\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&3\\1&-3&0\\\end{pmatrix}}\end{matrix}}}$

Esta matriz puede interpretarse como un juego de suma cero y admite un único equilibrio de Nash (o estrategia minimax ).${\displaystyle p}$dónde${\displaystyle p(a)=3/5}$,${\displaystyle p(b)=1/5}$,${\displaystyle p(c)=1/5}$Por definición, esta es también la única lotería máxima del perfil de preferencia anterior. El ejemplo fue cuidadosamente elegido para no tener un ganador de Condorcet . Muchos perfiles de preferencia admiten un ganador de Condorcet, en cuyo caso la única lotería máxima asignará probabilidad 1 al ganador de Condorcet. Si el último votante en el ejemplo anterior cambia de alternativas${\displaystyle a}$y${\displaystyle c}$en su relación de preferencia,${\displaystyle a}$se convierte en el ganador de Condorcet y será seleccionado con probabilidad 1.

• voting.ml (sitio web para calcular loterías máximas)