Función de masa binaria

En astronomía , la función de masa binaria , o simplemente función de masa , es una función que limita la masa del componente no visible (típicamente una estrella o un exoplaneta ) en un sistema binario espectroscópico de una sola línea o en un sistema planetario . Se puede calcular a partir únicamente de cantidades observables , a saber, el período orbital del sistema binario y la velocidad radial máxima de la estrella observada. La velocidad de uno de los componentes binarios y el período orbital proporcionan información sobre la separación y la fuerza gravitatoria entre los dos componentes y, por lo tanto, sobre sus masas.

La función de masa binaria se deriva de la tercera ley de Kepler cuando se conoce la velocidad radial de uno de los componentes binarios. ^{[ 1 ]} La tercera ley de Kepler describe el movimiento de dos cuerpos que orbitan un centro de masa común . Relaciona el período orbital con la separación orbital entre los dos cuerpos y la suma de sus masas. Para una separación orbital dada, una mayor masa total del sistema implica mayores velocidades orbitales . Por otro lado, para una masa del sistema dada, un período orbital más largo implica una mayor separación y menores velocidades orbitales.

Dado que el período orbital y las velocidades orbitales en el sistema binario están relacionados con las masas de los componentes binarios, la medición de estos parámetros proporciona información sobre las masas de uno o ambos componentes. ^{[ 2 ]} Sin embargo, la velocidad orbital real suele ser desconocida, ya que las velocidades en el plano del cielo son mucho más difíciles de determinar que las velocidades a lo largo de la línea de visión. ^{[ 1 ]}

La velocidad radial es la componente de velocidad de la velocidad orbital en la línea de visión del observador. A diferencia de la velocidad orbital verdadera, la velocidad radial se puede determinar a partir de la espectroscopia Doppler de las líneas espectrales en la luz de una estrella, ^{[ 3 ]} o a partir de las variaciones en los tiempos de llegada de los pulsos de un púlsar de radio . ^{[ 4 ]} Un sistema binario se denomina binario espectroscópico de una sola línea si se puede medir el movimiento radial de solo uno de los dos componentes binarios. En este caso, se puede determinar un límite inferior para la masa del otro componente, que no se observa. ^{[ 1 ]}

La masa real y la velocidad orbital real no se pueden determinar a partir de la velocidad radial porque la inclinación orbital generalmente se desconoce. (La inclinación es la orientación de la órbita desde el punto de vista del observador y relaciona la velocidad real con la velocidad radial. ^{[ 1 ]} ) Esto causa una degeneración entre la masa y la inclinación. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Por ejemplo, si la velocidad radial medida es baja, esto puede significar que la velocidad orbital real es baja (lo que implica objetos de baja masa) y la inclinación es alta (la órbita se ve de canto), o que la velocidad real es alta (lo que implica objetos de alta masa) pero la inclinación es baja (la órbita se ve de frente).

La velocidad radial máxima${\displaystyle K}$es la semi-amplitud de la curva de velocidad radial, como se muestra en la figura. El período orbital${\displaystyle P_{\text{orb}}}$Se obtiene a partir de la periodicidad en la curva de velocidad radial. Estas son las dos cantidades observables necesarias para calcular la función de masa binaria. ^{[ 2 ]}

En este artículo, el objeto observado cuya velocidad radial se puede medir se denomina objeto 1, y su compañero invisible, objeto 2.

Dejar${\displaystyle M_{1}}$y${\displaystyle M_{2}}$sean las masas estelares, con${\displaystyle M_{1}+M_{2}=M_{\mathrm {tot} }}$la masa total del sistema binario,${\displaystyle v_{1}}$y${\displaystyle v_{2}}$las velocidades orbitales y${\displaystyle a_{1}}$y${\displaystyle a_{2}}$las distancias de los objetos al centro de masa.${\displaystyle a_{1}+a_{2}=a}$es el semieje mayor (separación orbital) del sistema binario.

Comenzamos con la tercera ley de Kepler, con${\displaystyle \omega _{\mathrm {orbe} }=2\pi /P_{\mathrm {orbe} }}$la frecuencia orbital y${\displaystyle G}$la constante gravitacional , $${\displaystyle GM_{\text{total}}=\omega _{\text{orb}}^{2}a^{3}.}$$

Utilizando la definición de la ubicación del centro de masa,${\displaystyle M_{1}a_{1}=M_{2}a_{2}}$, ^{[ 1 ]} podemos escribir $${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)=a_{1}\left(1+{\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)={\frac {a_{1}}{M_{2}}}(M_{1}+M_{2})={\frac {a_{1}M_{\mathrm {tot} }}{M_{2}}}.}$$

Insertar esta expresión para${\displaystyle a}$En la tercera ley de Kepler, encontramos $${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}{\frac {a_{1}^{3}M_{\mathrm {tot} }^{3}}{M_{2}^{3}}}.}$$

que se puede reescribir a $${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {\omega _ {\mathrm {orbe} }^{2}a_{1}^{3}}{G}}.}$$

La velocidad radial máxima del objeto 1,${\displaystyle K}$depende de la inclinación orbital${\displaystyle i}$(una inclinación de 0° corresponde a una órbita vista de frente, una inclinación de 90° corresponde a una órbita vista de canto). Para una órbita circular ( excentricidad orbital = 0) viene dada por ^{[ 7 ].}$${\displaystyle K=v_{1}\sin i=\omega _{\text{orb}}a_{1}\sin i.}$$

Después de sustituir${\displaystyle a_{1}}$obtenemos $${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\text{tot}}^{2}}}={\frac {K^{3}}{G\omega _{\text{orb}}\sin ^{3}i}}.}$$

La función de masa binaria${\displaystyle f}$(con unidad de masa) es ^{[ 8 ] [ 7 ] [ 2 ] [ 9 ] [ 1 ] [ 6 ] [ 10 ]}$${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orbe} }\ K^{3}}{2\pi G}}.}$$

Para una masa estimada o supuesta${\displaystyle M_{1}}$del objeto observado 1, una masa mínima${\displaystyle M_{\mathrm {2,min} }}$se puede determinar para el objeto invisible 2 asumiendo${\displaystyle i=90^{\circ }}$La masa verdadera${\displaystyle M_{2}}$depende de la inclinación orbital. La inclinación generalmente no se conoce, pero hasta cierto punto se puede determinar a partir de eclipses observados , ^{[ 2 ]} restringir a partir de la no observación de eclipses, ^{[ 8 ] [ 9 ]} o modelar utilizando variaciones elipsoidales (la forma no esférica de una estrella en un sistema binario produce variaciones en el brillo a lo largo de una órbita que dependen de la inclinación del sistema). ^{[ 11 ]}

En una órbita con excentricidad${\displaystyle e}$, la función de masa viene dada por ^{[ 7 ] [ 12 ]}$${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}.}$$