Dimensión Iitaka

En geometría algebraica , la dimensión de Iitaka de un fibrado de líneas L sobre una variedad algebraica X es la dimensión de la imagen de la aplicación racional al espacio proyectivo determinada por L. Esta dimensión es 1 menor que la dimensión del anillo de sección de L.

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _ {d=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes d}).}$

La dimensión Iitaka de L siempre es menor o igual que la dimensión de X. Si L no es efectivo, entonces su dimensión Iitaka generalmente se define como${\displaystyle -\infty }$o simplemente se dice que es negativo (algunas referencias tempranas lo definen como − 1). La dimensión de Iitaka de L a veces se llama dimensión L, mientras que la dimensión de un divisor D se llama dimensión D. La dimensión de Iitaka fue introducida por Shigeru Iitaka ( 1970 , 1971 ) . 

Un fibrado de líneas es grande si tiene dimensión Iitaka máxima, es decir, si su dimensión Iitaka es igual a la dimensión de la variedad subyacente. La grandeza es un invariante birracional : si f  : Y → X es un morfismo birracional de variedades, y si L es un fibrado de líneas grande en X , entonces f ^* L es un fibrado de líneas grande en Y.

Todos los paquetes de líneas amplias son grandes.

Los haces de líneas grandes no necesariamente determinan isomorfismos birracionales de X con su imagen. Por ejemplo, si C es una curva hiperelíptica (como una curva de género dos), entonces su haz canónico es grande, pero la aplicación racional que determina no es un isomorfismo birracional. En cambio, es un recubrimiento de dos a uno de la curva canónica de C , que es una curva normal racional .

La dimensión Iitaka del fibrado canónico de una variedad lisa se denomina dimensión Kodaira .

Consideremos las variedades algebraicas complejas en lo siguiente.

Sea K el fibrado canónico en M. La dimensión de H ⁰ (M,K ^m ), secciones holomorfas de K ^m , se denota por P _m (M), llamada m-género . Sea

${\displaystyle N(M)=\{m\geq 1|P_{m}(M)\geq 1\},}$

entonces N(M) se convierte en todos los enteros positivos con m-género distinto de cero. Cuando N(M) no está vacío, para${\displaystyle m\in N(M)}$mapa m-pluricanónico${\displaystyle \Phi _{mK}}$se define como el mapa

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{mK}:&M\longrightarrow \ \ \ \ \ \ \mathbb {P} ^{N}\\&z\ \ \ \mapsto \ \ (\varphi _{0}(z):\varphi _{1}(z):\cdots$ :\varphi _{N}(z))\end{alineado}}}

dónde${\displaystyle \varphi _{i}}$son las bases de H ⁰ (M,K ^m ). Entonces la imagen de${\displaystyle \Phi _{mK}}$,${\displaystyle \Phi _{mK}(M)}$se define como la subvariedad de${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$.

Por cierto${\displaystyle m}$dejar${\displaystyle \Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}}$sea ​​el mapa m-pluricanónico donde W es la variedad compleja incrustada en el espacio proyectivo P ^N .

En el caso de superficies con κ(M)=1, la curva W mencionada anteriormente se reemplaza por una curva C, que es una curva elíptica (κ(C)=0). Queremos extender este hecho a la dimensión general y obtener la estructura de fibra analítica representada en la figura superior derecha.

Dado un mapa birracional${\displaystyle \varphi :M\longrightarrow W}$, el mapa m-pluricanónico trae el diagrama conmutativo representado en la figura de la izquierda, lo que significa que${\displaystyle \Phi _{mK}(M)=\Phi _{mK}(W)}$, es decir, el género m-pluricanónico es birracionalmente invariante.

Iitaka demuestra que, dada una variedad compleja compacta n-dimensional M con su dimensión de Kodaira κ(M) que satisface 1 ≤ κ(M) ≤ n-1, existen suficientes m ₁ , m ₂ grandes tales que${\displaystyle \Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)}$y${\displaystyle \Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}$son birracionales equivalentes, lo que significa que existe el mapa birracional.${\ Displaystyle \ varphi: W_ {m_ {1}} \ longrightarrow W_ {m_ {2}} (M)}$. Es decir, el diagrama representado en la figura de la derecha es conmutativo.

Además, se puede seleccionar${\displaystyle M^{*}}$que es birracional con${\displaystyle M}$y${\displaystyle W^{*}}$que es birracional con ambos${\displaystyle W_{m_{1}}}$y${\displaystyle W_{m_{1}}}$de tal manera que

${\displaystyle \Phi :M^{*}\longrightarrow W^{*}}$

es un mapa birracional, las fibras de${\displaystyle \Phi }$están simplemente conectados y las fibras generales de${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle M_{w}^{*}:=\Phi ^{-1}(w),\ \ w\in W^{*}}$

tener Kodaira dimensión 0.

La estructura de fibra anterior se llama espacio de fibra de Iitaka. En el caso de la superficie S ( n = 2 = dim(S)), W ^* es la curva algebraica , la estructura de fibra es de dimensión 1, y entonces las fibras generales tienen dimensión de Kodaira 0, es decir, curva elíptica. Por lo tanto, S es la superficie elíptica. Este hecho se puede generalizar al n general . Por lo tanto, el estudio de la geometría birracional de dimensiones superiores se descompone en la parte de κ=-∞,0,n y el espacio de fibra cuyas fibras son de κ=0.

La siguiente fórmula adicional de Iitaka, llamada conjetura de Iitaka , es importante para la clasificación de variedades algebraicas o variedades complejas compactas.

Esta conjetura solo se ha resuelto parcialmente, por ejemplo, en el caso de las variedades de Moishezon . Podría decirse que la teoría de la clasificación es el esfuerzo por resolver la conjetura de Iitaka y derivar otros teoremas que establecen que la variedad tridimensional V es abeliana si y solo si κ(V)=0 y q(V)=3, y su generalización, etc. El programa de modelos mínimos podría derivarse de esta conjetura.

• Iitaka, Shigeru (1970), "Sobre las D-dimensiones de las variedades algebraicas", Proc. Japan Acad. , 46 : 487–489 , doi : 10.3792/pja/1195520260 , MR 0285532 
• Iitaka, Shigeru (1971), "Sobre las D-dimensiones de las variedades algebraicas.", J. Math. Soc. Jpn. , 23 : 356– 373, doi : 10.2969/jmsj/02320356 , MR 0285531 
• Ueno, Kenji (1975), Teoría de la clasificación de variedades algebraicas y espacios complejos compactos , Lecture Notes in Mathematics, vol.  439, Springer-Verlag , MR 0506253