Transferencia bielíptica

En astronáutica e ingeniería aeroespacial , la transferencia bielíptica es una maniobra orbital que mueve una nave espacial de una órbita a otra y puede, en ciertas situaciones, requerir menos delta-v que una maniobra de transferencia de Hohmann .

La transferencia bielíptica consta de dos órbitas semielípticas . Desde la órbita inicial, un primer encendido gasta delta-v para impulsar la nave espacial a la primera órbita de transferencia con un apoápside en algún punto alejado del cuerpo central . En este punto, un segundo encendido envía la nave espacial a la segunda órbita elíptica con periápside en el radio de la órbita final deseada, donde se realiza un tercer encendido, inyectando la nave espacial en la órbita deseada. ^[1]$estilo de visualización rb$

Si bien requieren una quema de motor más que una transferencia Hohmann y generalmente requieren un mayor tiempo de viaje, algunas transferencias bielípticas requieren una menor cantidad de delta-v total que una transferencia Hohmann cuando la relación entre el semieje mayor final y el inicial es 11,94 o mayor, dependiendo del semieje mayor intermedio elegido. ^[2]

La idea de la trayectoria de transferencia bielíptica fue publicada por primera vez ^{[ cita requerida ] por} Ary Sternfeld en 1934. ^[3]

Los tres cambios de velocidad requeridos se pueden obtener directamente de la ecuación vis-viva donde $${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$$

• ${\estilo de visualización v}$es la velocidad de un cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle \mu =GM}$es el parámetro gravitacional estándar del cuerpo primario,
• ${\estilo de visualización r}$es la distancia del cuerpo en órbita desde el primario, es decir, el radio,
• ${\estilo de visualización a}$es el semieje mayor de la órbita del cuerpo.

A continuación,

• $estilo de visualización r_{1}$es el radio de la órbita circular inicial,
• $estilo de visualización r_{2}$es el radio de la órbita circular final,
• $estilo de visualización rb$es el radio de apoapsis común de las dos elipses de transferencia y es un parámetro libre de la maniobra,
• $estilo de visualización a_{1}$y son los semiejes mayores de las dos órbitas de transferencia elípticas, que están dadas por y$estilo de visualización a_{2}$$${\displaystyle a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}},}$$$${\displaystyle a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}.}$$

Partiendo de la órbita circular inicial con radio (círculo azul oscuro en la figura de la derecha), un encendido progrado (marca 1 en la figura) coloca a la nave espacial en la primera órbita de transferencia elíptica (semielipse aguamarina). La magnitud del delta-v requerido para este encendido es $estilo de visualización r_{1}$$${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.}$$

Cuando se alcanza el apoápside de la primera elipse de transferencia a una distancia de la primaria, un segundo encendido progrado (marca 2) eleva el periápside para que coincida con el radio de la órbita circular objetivo, lo que coloca a la nave espacial en una segunda trayectoria elíptica (semielipse naranja). La magnitud del delta-v requerido para el segundo encendido es ${\displaystyle r_{b}}$$${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.}$$

Por último, cuando se alcanza la órbita circular final con radio , una quema retrógrada (marca 3) circulariza la trayectoria hacia la órbita objetivo final (círculo rojo). La quema retrógrada final requiere un delta-v de magnitud ${\displaystyle r_{2}}$$${\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.}$$

Si , entonces la maniobra se reduce a una transferencia de Hohmann (en cuyo caso se puede verificar que se vuelve cero). Por lo tanto, la transferencia bielíptica constituye una clase más general de transferencias orbitales, de las cuales la transferencia de Hohmann es un caso especial de dos impulsos. ${\displaystyle r_{b}=r_{2}}$${\displaystyle \Delta v_{3}}$

El ahorro máximo posible se puede calcular suponiendo que , en cuyo caso el total se simplifica a . En este caso, también se habla de una transferencia biparabólica porque las dos trayectorias de transferencia ya no son elipses sino parábolas . El tiempo de transferencia también aumenta hasta el infinito. ${\displaystyle r_{b}=\infty }$${\displaystyle \Delta v}$${\textstyle {\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)}$

Al igual que en la transferencia de Hohmann, las dos órbitas de transferencia utilizadas en la transferencia bielíptica constituyen exactamente la mitad de una órbita elíptica. Esto significa que el tiempo necesario para ejecutar cada fase de la transferencia es la mitad del período orbital de cada elipse de transferencia.

Usando la ecuación para el período orbital y la notación de arriba, $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$$

El tiempo total de transferencia es la suma de los tiempos necesarios para cada semiórbita. Por lo tanto: y finalmente: ${\displaystyle t}$$${\displaystyle t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}\quad {\text{and}}\quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},}$$$${\displaystyle t=t_{1}+t_{2}.}$$

La figura muestra el total necesario para pasar de una órbita circular de radio a otra órbita circular de radio . La se muestra normalizada a la velocidad orbital en la órbita inicial, , y se representa gráficamente como una función de la relación de los radios de las órbitas final e inicial, ; esto se hace para que la comparación sea general (es decir, no dependa de los valores específicos de y , solo de su relación). ^[2]${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle R\equiv r_{2}/r_{1}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

La curva negra gruesa indica la transferencia de Hohmann, mientras que las curvas de color más delgado corresponden a transferencias bielípticas con valores variables del parámetro , definido como el radio de apoápsis de la órbita auxiliar elíptica normalizado al radio de la órbita inicial, e indicado junto a las curvas. El recuadro muestra un primer plano de la región donde las curvas bielípticas cruzan la curva de Hohmann por primera vez. ${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$${\displaystyle r_{b}}$

Se puede observar que la transferencia de Hohmann siempre es más eficiente si la relación de radios es menor que 11,94. Por otra parte, si el radio de la órbita final es más de 15,58 veces mayor que el radio de la órbita inicial, entonces cualquier transferencia bielíptica, independientemente de su radio de apoápsis (siempre que sea mayor que el radio de la órbita final), requiere menos que una transferencia de Hohmann. Entre las relaciones de 11,94 y 15,58, qué transferencia es mejor depende de la distancia de apoápsis . Para cualquier dato en este rango, hay un valor de por encima del cual la transferencia bielíptica es superior y por debajo del cual la transferencia de Hohmann es mejor. La siguiente tabla enumera el valor de que da como resultado que la transferencia bielíptica sea mejor para algunos casos seleccionados. ^[4]${\displaystyle R}$${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle r_{b}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r_{b}}$${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$

El largo tiempo de transferencia de la transferencia bielíptica es un inconveniente importante para esta maniobra, llegando incluso a ser infinito para el caso límite de la transferencia biparabólica. $${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},}$$

La transferencia de Hohmann tarda menos de la mitad del tiempo porque sólo hay una semielipse de transferencia. Para ser precisos, $${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$$

Si bien una transferencia bielíptica tiene una ventana de parámetros pequeña donde es estrictamente superior a una transferencia de Hohmann en términos de delta V para una transferencia plana entre órbitas circulares, el ahorro es bastante pequeño y una transferencia bielíptica es una ayuda mucho mayor cuando se usa en combinación con ciertas otras maniobras.

En el apoápside, la nave espacial viaja a baja velocidad orbital y se pueden lograr cambios significativos en el periápside con un pequeño costo de delta V. Las transferencias que se asemejan a una bi-elíptica pero que incorporan una maniobra de cambio de plano en el apoápside pueden ahorrar drásticamente delta V en misiones donde se necesita ajustar el plano, así como la altitud, en lugar de hacer el cambio de plano en una órbita circular baja además de una transferencia Hohmann.

De la misma manera, dejar caer el periapsis hasta el fondo de la atmósfera de un cuerpo planetario para frenar aerodinámicamente es económico en velocidad en el apoapsis, pero permite el uso de resistencia "libre" para ayudar en la quema de circularización final para dejar caer el apoapsis; aunque agrega una etapa de misión adicional de elevación del periapsis fuera de la atmósfera, esto puede, bajo algunos parámetros, costar significativamente menos delta V que simplemente dejar caer el periapsis en una quema desde una órbita circular.

Para pasar de una órbita terrestre baja circular con r ₀ = 6700 km a una nueva órbita circular con r ₁ = 93 800 km utilizando una órbita de transferencia de Hohmann, se requiere un Δ v de 2825,02 + 1308,70 = 4133,72 m/s . Sin embargo, como r ₁ = 14 r ₀ > 11,94 r ₀ , es posible obtener mejores resultados con una transferencia bielíptica. Si la nave espacial primero aceleró 3061,04 m/s, logrando así una órbita elíptica con apogeo en r ₂ = 40 r ₀ = 268 000 km , luego en el apogeo aceleró otros 608,825 m/s hasta una nueva órbita con perigeo en r ₁ = 93 800 km , y finalmente en el perigeo de esta segunda órbita de transferencia desaceleró 447,662 m/s, entrando en la órbita circular final, entonces el Δv total sería solo 4117,53 m/s, que es 16,19 m/s (0,4%) menos.

El ahorro de Δ v podría mejorarse aún más aumentando el apogeo intermedio, a expensas de un mayor tiempo de transferencia. Por ejemplo, un apogeo de 75,8 r ₀ = 507 688 km (1,3 veces la distancia a la Luna) daría como resultado un ahorro de Δ v del 1% con respecto a una transferencia Hohmann, pero requeriría un tiempo de tránsito de 17 días. Como ejemplo extremo poco práctico, un apogeo de 1757 r ₀ = 11 770 000 km (30 veces la distancia a la Luna) daría como resultado un ahorro de Δ v del 2% con respecto a una transferencia Hohmann, pero la transferencia requeriría 4,5 años (y, en la práctica, se vería perturbada por los efectos gravitacionales de otros cuerpos del sistema solar). A modo de comparación, la transferencia Hohmann requiere 15 horas y 34 minutos.

Evidentemente, la órbita bielíptica gasta más de su delta-v cerca del planeta (en el primer encendido). Esto produce una mayor contribución a la energía orbital específica y, debido al efecto Oberth , es responsable de la reducción neta del delta-v requerido.

• Presupuesto del delta-v
• Efecto Oberth