Proceso de Bessel

En matemáticas , un proceso de Bessel , llamado así en honor a Friedrich Bessel , es un tipo de proceso estocástico .

El proceso de Bessel de orden n es el proceso de valor real X dado (cuando n  ≥ 2) por

${\displaystyle X_{t}=\|W_{t}\|,}$

donde ||·|| denota la norma euclidiana en R ⁿ y W es un proceso de Wiener n -dimensional ( movimiento browniano ). Para cualquier n , el proceso de Bessel n -dimensional es la solución de la ecuación diferencial estocástica (EDS)

${\displaystyle dX_{t}=dW_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}}$

donde W es un proceso de Wiener unidimensional ( movimiento browniano ). Nótese que esta ecuación diferencial simple tiene sentido para cualquier parámetro real (aunque el término de deriva es singular en cero). ${\estilo de visualización n}$

Una notación para el proceso de Bessel de dimensión n iniciado en cero es BES ₀ ( n ) .

Para n  ≥ 2, el proceso de Wiener n -dimensional iniciado en el origen es transitorio desde su punto de partida: con probabilidad uno , es decir, X _t  > 0 para todo t  > 0. Sin embargo, es recurrente en el vecindario para n  = 2, lo que significa que con probabilidad 1, para cualquier r  > 0, hay t arbitrariamente grandes con X _t  <  r ; por otro lado, es verdaderamente transitorio para n  > 2, lo que significa que X _t  ≥  r para todo t suficientemente grande.

Para n  ≤ 0, el proceso de Bessel suele iniciarse en puntos distintos de 0, ya que la deriva hacia 0 es tan fuerte que el proceso queda estancado en 0 tan pronto como llega a 0.

Los procesos de Bessel de 0 y 2 dimensiones están relacionados con los tiempos locales del movimiento browniano a través de los teoremas de Ray-Knight . ^[1]

La ley de un movimiento browniano cerca del extremo x es la ley de un proceso de Bessel tridimensional (teorema de Tanaka).

• Øksendal, Bernt (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
• Williams D. (1979) Difusiones, procesos de Markov y martingalas, volumen 1: fundamentos. Wiley. ISBN 0-471-99705-6 .