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Teoría de la búsqueda bayesiana

La teoría de búsqueda bayesiana es la aplicación de la estadística bayesiana a la búsqueda de objetos perdidos. Se ha utilizado en varias ocasiones para encontrar buques hundido...

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La teoría de búsqueda bayesiana es la aplicación de la estadística bayesiana a la búsqueda de objetos perdidos. Se ha utilizado en varias ocasiones para encontrar buques hundidos, como el USS Scorpion , y desempeñó un papel fundamental en la recuperación de las cajas negras del vuelo 447 de Air France en 2009. También se ha utilizado en los intentos por localizar los restos del vuelo 370 de Malaysia Airlines . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

Procedimiento

El procedimiento habitual es el siguiente:

  1. Formula tantas hipótesis razonables como sea posible sobre lo que pudo haberle sucedido al objeto.
  2. Para cada hipótesis, construya una función de densidad de probabilidad para la ubicación del objeto.
  3. Construye una función que indique la probabilidad de encontrar un objeto en la ubicación  X al realizar una búsqueda allí, si dicho objeto realmente se encuentra en esa ubicación  . En una búsqueda oceánica, esta probabilidad suele depender de la profundidad del agua: en aguas poco profundas, las probabilidades de encontrar un objeto son altas si la búsqueda se realiza en el lugar correcto. En aguas profundas, las probabilidades disminuyen.
  4. Combina la información anterior de forma coherente para obtener un mapa de densidad de probabilidad general. (Normalmente, esto simplemente implica multiplicar las dos funciones). Esto proporciona la probabilidad de encontrar el objeto buscando en la ubicación  X, para todas las ubicaciones  X posibles. (Esto se puede visualizar como un mapa de contorno de probabilidad).
  5. Construya una ruta de búsqueda que comience en el punto de mayor probabilidad y "escanee" las áreas de alta probabilidad, luego las de probabilidad intermedia y, finalmente, las de baja probabilidad.
  6. Revise continuamente todas las probabilidades durante la búsqueda. Por ejemplo, si las hipótesis para la ubicación  X implican la probable desintegración del objeto y la búsqueda en la ubicación  X no ha arrojado fragmentos, entonces la probabilidad de que el objeto se encuentre en algún lugar cercano se reduce considerablemente (aunque generalmente no llega a cero), mientras que las probabilidades de que se encuentre en otras ubicaciones aumentan en consecuencia. El proceso de revisión se realiza aplicando el teorema de Bayes .

En otras palabras, primero busque donde sea más probable encontrarlo, luego busque donde sea menos probable encontrarlo, luego busque donde la probabilidad sea aún menor (pero aún posible debido a las limitaciones de combustible, alcance, corrientes de agua, etc.), hasta que no quede suficiente esperanza de localizar el objeto a un costo aceptable.

Las ventajas del método bayesiano radican en que toda la información disponible se utiliza de forma coherente (es decir, de manera "a prueba de fugas") y el método genera automáticamente estimaciones del coste para una probabilidad de éxito dada. Es decir, incluso antes de comenzar la búsqueda, se puede afirmar, hipotéticamente, que "hay un 65 % de probabilidad de encontrarlo en una búsqueda de 5 días. Esa probabilidad aumentará al 90 % después de una búsqueda de 10 días y al 97 % después de 15  días", o una afirmación similar. De este modo, se puede estimar la viabilidad económica de la búsqueda antes de destinar recursos a ella.

Además del USS Scorpion , otros buques localizados mediante la teoría de búsqueda bayesiana incluyen el MV Derbyshire  , el mayor buque británico jamás perdido en el mar, y el SS Central America  . También resultó eficaz en la búsqueda de una bomba de hidrógeno perdida tras el accidente del B-52 Palomares en España en 1966, [ 4 ] y la recuperación en el Océano Atlántico del vuelo 447 de Air France, que se estrelló .

La teoría de búsqueda bayesiana está integrada en el software de planificación de misiones CASP (Programa de Búsqueda Asistida por Computadora) utilizado por la Guardia Costera de los Estados Unidos para búsqueda y rescate . Este programa fue posteriormente adaptado para la búsqueda en tierra firme mediante la adición de factores de terreno y cobertura del suelo para su uso por la Fuerza Aérea de los Estados Unidos y la Patrulla Aérea Civil .

Matemáticas

Supongamos que una casilla de la cuadrícula tiene una probabilidad p de contener el naufragio y que la probabilidad de detectar con éxito el naufragio si está allí es q . Si se busca en la casilla y no se encuentra ningún naufragio, entonces, por el teorema de Bayes, la probabilidad revisada de que el naufragio esté en la casilla viene dada por

pag′=pag(1−q)(1−pag)+pag(1−q)=pag1−q1−pagq<pag.{\displaystyle p'={\frac {p(1-q)}{(1-p)+p(1-q)}}=p{\frac {1-q}{1-pq}}<p.}

Para cada segundo cuadrado de la cuadrícula, si su probabilidad previa es r , su probabilidad posterior viene dada por

r′=r11−pagq>r.{\displaystyle r'=r{\frac {1}{1-pq}}>r.}

USS Scorpion

En mayo de 1968, el submarino nuclear de la Armada de los Estados Unidos, USS Scorpion (SSN-589), no llegó a su puerto base en Norfolk, Virginia , como estaba previsto . Los oficiales al mando de la Armada estaban casi seguros de que el buque se había perdido frente a la costa este , pero una búsqueda exhaustiva en la zona no logró encontrar los restos del Scorpion .

Entonces, un experto en aguas profundas de la Armada, John P. Craven , sugirió que el Scorpion se había hundido en otro lugar. Craven organizó una búsqueda al suroeste de las Azores basándose en una controvertida triangulación aproximada mediante hidrófonos . Se le asignó un solo barco, el Mizar , y solicitó asesoramiento a Metron Inc., una empresa de matemáticos consultores, para maximizar sus recursos. Se adoptó una metodología de búsqueda bayesiana. Se entrevistó a comandantes de submarinos experimentados para formular hipótesis sobre las posibles causas de la pérdida del Scorpion .

El área marina se dividió en cuadrículas y se asignó una probabilidad a cada una, bajo cada hipótesis, para obtener varias cuadrículas de probabilidad, una por cada hipótesis. Estas se sumaron para producir una cuadrícula de probabilidad general. La probabilidad asociada a cada cuadrícula era la probabilidad de que el pecio se encontrara en ella. Se construyó una segunda cuadrícula con probabilidades que representaban la probabilidad de encontrar el pecio si se registrara esa cuadrícula y el pecio estuviera realmente allí. Esta probabilidad dependía de la profundidad del agua. El resultado de combinar esta cuadrícula con la anterior es una cuadrícula que proporciona la probabilidad de encontrar el pecio en cada cuadrícula del área marina si se registrara.

A finales de octubre de 1968, el buque de investigación oceanográfica de la Armada, Mizar , localizó secciones del casco del Scorpion en el lecho marino, a unos 740 km (400 millas náuticas; 460 millas) al suroeste de las Azores , [ 5 ] bajo más de 3000 m (9800 pies) de agua. Esto ocurrió después de que la Armada publicara cintas de audio de su sistema de escucha submarina " SOSUS ", que contenían los sonidos de la destrucción del Scorpion . Posteriormente se reanudó la investigación y se enviaron otros buques, incluido el batiscafo Trieste II , al lugar, que recogieron numerosas fotografías y otros datos.     

Aunque Craven recibió mucho crédito por localizar los restos del Scorpion , Gordon Hamilton, un experto en acústica que fue pionero en el uso de la hidroacústica para determinar los puntos de amerizaje de los misiles Polaris, fue fundamental para definir una "zona de búsqueda" compacta donde finalmente se encontraron los restos. Hamilton había establecido una estación de escucha en las Islas Canarias que obtuvo una señal clara de lo que algunos científicos creen que fue el ruido de la implosión del casco de presión del buque al pasar por la profundidad de aplastamiento . Un científico del Laboratorio de Investigación Naval llamado Chester "Buck" Buchanan, utilizando un trineo de cámara remolcado de su propio diseño a bordo del Mizar , finalmente localizó el Scorpion . [ 5 ] El trineo de cámara remolcado, que fue fabricado por JL "Jac" Hamm de la División de Servicios de Ingeniería del Laboratorio de Investigación Naval, se encuentra en el Museo Nacional de la Armada de los Estados Unidos . Buchanan había localizado el casco naufragado del Thresher en 1964 utilizando esta técnica.

Distribución óptima del esfuerzo de búsqueda

El libro clásico sobre este tema, The Theory of Optimal Search ( Operations Research Society of America , 1975), de Lawrence D. Stone de Metron Inc., ganó el Premio Lanchester de 1975 otorgado por la American Operations Research Society.

Búsqueda en cajas

Supongamos que un objeto estacionario está oculto en una de n cajas (ubicaciones). Para cada ubicacióni{\displaystyle i}Hay tres parámetros conocidos: el costodoi{\displaystyle c_{i}}de una sola búsqueda, la probabilidadai{\displaystyle a_{i}}de encontrar el objeto mediante una sola búsqueda si el objeto está allí, y la probabilidadpagi{\displaystyle p_{i}}que el objeto está ahí. Un buscador busca el objeto. Conoce las probabilidades a priori al principio y las actualiza mediante la ley de Bayes después de cada intento (fallido).

El problema de encontrar el objeto con el mínimo costo esperado es un problema clásico resuelto por David Blackwell ; posteriormente, David Assaf extendió el resultado de Blackwell a más de un objeto. [ 6 ] La política óptima es: en cada etapa, buscar la ubicación que maximicepagiaidoi{\displaystyle {\frac {p_{i}a_{i}}{c_{i}}}}Este es un caso especial del índice Gittins .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Whitley, Angus (3 de diciembre de 2015). "Cómo un estadístico del siglo XVIII está ayudando a encontrar el MH370" . Bloomberg.com . Consultado el 7 de marzo de 2016 .
  2. ↑ "La búsqueda del MH370 se reduce a un 'punto crítico' ya que el análisis revela que el avión no realizó un aterrizaje controlado" . Telegraph.co.uk . 3 de diciembre de 2015. Consultado el 7 de marzo de 2016 .
  3. ↑ Whitley, Angus (2 de diciembre de 2015). "Cazadores del MH370 reducen la zona al lugar más probable de los restos" . Bloomberg.com . Consultado el 7 de marzo de 2016 .
  4. ↑ McGrayne, Sharon Bertsch (2011). La teoría que no quería morir: cómo la regla de Bayes descifró el código Enigma, localizó submarinos rusos y salió victoriosa de dos siglos de controversia . Yale University Press. págs. 92–. ISBN  978-0-300-18822-6.
  5. 1 2 "Extraños dispositivos que encontraron el submarino hundido Scorpion". Popular Science , abril de 1969, págs. 66-71.
  6. ↑ Assaf, David; Zamir, Shmuel (1985). "Búsqueda secuencial óptima: un enfoque bayesiano" . The Annals of Statistics . 13 (3): 1213– 1221. doi : 10.1214/aos/1176349665 . ISSN 0090-5364 . JSTOR 2241134 .  

Bibliografía

  • Stone, Lawrence D. , La teoría de la búsqueda óptima , publicado por la Sociedad de Investigación Operativa de América , 1975.
  • Stone, Lawrence D. , En busca del vuelo 447 de Air France. Instituto de Investigación Operativa y Ciencias de la Gestión, 2011. https://www.informs.org/ORMS-Today/Public-Articles/August-Volume-38-Number-4/In-Search-of-Air-France-Flight-447
  • Iida, Koji., Estudios sobre el plan de búsqueda óptimo , Vol.  70, Lecture Notes in Statistics, Springer-Verlag, 1992.
  • De Groot, Morris H., Decisiones estadísticas óptimas , Wiley Classics Library, 2004.
  • Richardson, Henry R. y Stone, Lawrence D. Análisis de operaciones durante la búsqueda submarina del Scorpion . Naval Research Logistics Quarterly , junio  de 1971, vol.  18, número  2. Oficina de Investigación Naval.
  • Stone, Lawrence D. Búsqueda del SS Central America : una búsqueda matemática del tesoro. Informe técnico, Metron Inc. Reston, Virginia.
  • Koopman, BO Búsqueda y selección , Informe 56 del Grupo de Evaluación de Investigación Operativa, Centro de Análisis Naval, Alexandria, Virginia. 1946.
  • Richardson, Henry R. y Discenza, JH. El sistema de planificación de búsqueda asistida por computadora (CASP) de la Guardia Costera de los Estados Unidos. Naval Research Logistics Quarterly . Vol.  27, número  4, págs.  659-680. 1980.
  • Ross, Sheldon M. , Introducción a la programación dinámica estocástica , Academic Press. 1983.