Base

En un sistema de numeración posicional , la base ( pl. bases ) es el número de dígitos únicos , incluido el dígito cero, que se utilizan para representar números. Por ejemplo, en los sistemas decimales (los sistemas más comunes en uso hoy en día) la base es diez .  

En cualquier sistema de numeración posicional estándar, un número se escribe convencionalmente como ( x ) _y, donde x es la cadena de dígitos e y es su base. Para la base diez, el subíndice se suele asumir y omitir (junto con los paréntesis que lo encierran ), ya que es la forma más común de expresar el valor . Por ejemplo, (100) ₁₀ es equivalente a 100 (el sistema decimal está implícito en este último) y representa el número cien, mientras que (100) ₂ (en el sistema binario con base 2) representa el número cuatro. ^{[ 1 ]}

Las computadoras electrónicas procesan y almacenan información de la manera más simple, como bits de código binario , que tienen una base de 2.

Radix es una palabra latina que significa "raíz". Raíz puede considerarse sinónimo de base, en el sentido aritmético.

Generalmente, en un sistema con base b ( b > 1 ), una cadena de dígitos d ₁ ... d _n denota el número d ₁ b ^{n −1} + d ₂ b ^{n −2} + ... + d _n b ⁰ , donde 0 ≤ d _i < b . ^{[ 1 ]} A diferencia del sistema decimal, o base 10, que tiene una posición de las unidades, una de las decenas, una de las centenas, etc., la base b tendría una posición de las unidades, luego una posición de las ¹ b , una posición de las ² b , etc. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, si b = 12, una cadena de dígitos como 59A (donde la letra "A" representa el valor de diez) representaría el valor 5 × 12 ² + 9 × 12 ¹ + 10 × 12 ⁰ = 838 en base 10.

Los sistemas numéricos de uso común incluyen:

Los sistemas octal y hexadecimal se utilizan con frecuencia en informática debido a su facilidad como abreviatura para el sistema binario. Cada dígito hexadecimal corresponde a una secuencia de cuatro dígitos binarios, ya que dieciséis es la cuarta potencia de dos; por ejemplo, el hexadecimal 78¹⁶ es el binario 111¹⁰⁰⁰² _. De _manera similar , cada dígito octal corresponde a una secuencia única de tres dígitos binarios, ya que ocho es el cubo de dos.

Esta representación es única. Sea b un entero positivo mayor que 1. Entonces, todo entero positivo a puede expresarse de forma única en la forma

${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$

donde m es un entero no negativo y los r' son enteros tales que

0 < r _m < b y 0 ≤ r _i < b para i = 0, 1, ... , m − 1. ^{[ 4 ]}

Las bases suelen ser números naturales . Sin embargo, son posibles otros sistemas posicionales, por ejemplo, la base de la proporción áurea (cuya base es un número algebraico no entero ) ^{[ 5 ]} y la base negativa (cuya base es negativa) ^{[ 6 ]} . Una base negativa permite la representación de números negativos sin el uso de un signo menos. Por ejemplo, sea b = −10. Entonces, una cadena de dígitos como 19 denota el número (decimal) 1 × (−10) ¹ + 9 × (−10) ⁰ = −1.

En el ámbito informático se utilizan diferentes bases, especialmente la 10 ( decimal ), la 2 ( binaria ), la 8 ( octal ) y la 16 ( hexadecimal ). Un byte de 8 bits puede representar valores de 0 a 255, que suelen expresarse con ceros iniciales en base 2, 8 o 16 para obtener la misma longitud. ^{[ 7 ]}

La primera fila de las tablas es la base escrita en decimal.

• Aritmética de punto flotante
• raíz mixta
• Polinomio
• Economía Radix
• Ordenación por radix
• Sistemas de numeración posicional no estándar
• Lista de sistemas numéricos

• McCoy, Neal H. (1968), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn and Bacon , LCCN  68015225

• Entrada de MathWorld en la base