Juego de compartir ancho de banda

Un juego de reparto de ancho de banda es un tipo de juego de asignación de recursos diseñado para modelar la asignación real de ancho de banda a múltiples usuarios en una red. Este juego es popular en la teoría de juegos porque sus conclusiones pueden aplicarse a redes reales.

El juego implica${\displaystyle n}$jugadores. Cada jugador${\displaystyle i}$tiene utilidad${\displaystyle U_{i}(x)}$para${\displaystyle x}$unidades de ancho de banda. Reproductor${\displaystyle i}$paga${\displaystyle w_{i}}$para${\displaystyle x}$unidades de ancho de banda y recibe utilidad neta de${\ Displaystyle U_ {i} (x) -w_ {i}}$. La cantidad total de ancho de banda disponible es${\displaystyle B}$.

Acerca de${\displaystyle U_{i}(x)}$, asumimos

• ${\displaystyle U_{i}(x)\geq 0;}$
• ${\displaystyle U_{i}(x)}$es creciente y cóncava;
• ${\displaystyle U(x)}$es continuo.

El juego surge de intentar encontrar un precio${\displaystyle p}$para que cada jugador optimice individualmente su propio bienestar. Esto implica que cada jugador debe encontrar individualmente${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,U_{i}(x)-px}$. Resolviendo para obtener los rendimientos máximos${\displaystyle U_{i}^{'}(x)=p}$.

Con esta condición máxima, el juego se convierte entonces en una cuestión de encontrar un precio que satisfaga un equilibrio. Dicho precio se denomina precio de equilibrio del mercado .

Una idea popular para encontrar el precio es un método llamado reparto equitativo. ^{[ 1 ]} En este juego, cada jugador${\displaystyle i}$Se les pregunta por la cantidad que están dispuestos a pagar por el recurso dado, denotado por${\displaystyle w_{i}}$El recurso se distribuye luego en${\displaystyle x_{i}}$cantidades por la fórmula${\displaystyle x_{i}={\frac {w_{i}B}{\sum _{j}w_{j}}}}$Este método produce un precio efectivo.${\displaystyle p={\frac {\sum _{j}w_{j}}{B}}}$. Este precio puede demostrarse que es el de equilibrio del mercado; por lo tanto, la distribución${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$es óptimo. La demostración es la siguiente:

Tenemos ${\displaystyle {\underset {x_{i}}{\operatorname {arg\,max} }}\,U_{i}(x_{i})-w_{i}}$${\displaystyle ={\underset {w_{i}}{\operatorname {arg\,max} }}\,U_{i}\left({\frac {w_{i}B}{\sum _{j}w_{j}}}\right)-w_{i}}$. Por eso,

${\displaystyle U_{i}^{'}\left({\frac {w_{i}B}{\sum _{j}w_{j}}}\right)\left({\frac {B}{\sum _{j}w_{j}}}-{\frac {w_{i}B}{(\sum _{j}w_{j})^{2}}}\right)-1=0}$

de lo cual concluimos

${\displaystyle U_{i}^{'}(x_{i})\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p}}\left({\frac {x_{i}}{B}}\right)\right)-1=0}$

y por lo tanto ${\displaystyle U_{i}^{'}(x_{i})\left(1-{\frac {x_{i}}{B}}\right)=p.}$

Comparando este resultado con la condición de equilibrio anterior, vemos que cuando${\displaystyle {\frac {x_{i}}{B}}}$es muy pequeño, las dos condiciones se igualan y, por lo tanto, el juego de reparto equitativo es casi óptimo.