Código BCH

Sea q = 2 y m = 4 (por lo tanto n = 15 ). Consideraremos diferentes valores de d para GF(16) = GF(2 ⁴ ) basados ​​en el polinomio reductor z ⁴ + z + 1 , usando el elemento primitivo α ( z ) = z . Hay catorce polinomios mínimos m _i ( x ) con coeficientes en GF(2) que satisfacen

${\displaystyle m_{i}\left(\alpha ^{i}\right){\bmod {\left(z^{4}+z+1\right)}}=0.}$

Los polinomios mínimos son

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(x)&=m_{2}(x)=m_{4}(x)=m_{8}(x)=x^{4}+x+1,\\m_{3}(x)&=m_{6}(x)=m_{9}(x)=m_{12}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,\\m_{5}(x)&=m_{10}(x)=x^{2}+x+1,\\m_{7}(x)&=m_{11}(x)=m_{13}(x)=m_{14}(x)=x^{4}+x^{3}+1.\end{aligned}}}$

El código BCH con${\displaystyle d=2,3}$tiene el polinomio generador

${\displaystyle g(x)={\rm {lcm}}(m_{1}(x),m_{2}(x))=m_{1}(x)=x^{4}+x+1.\,}$

Tiene una distancia de Hamming mínima de al menos 3 y corrige hasta un error. Dado que el polinomio generador es de grado 4, este código tiene 11 bits de datos y 4 bits de suma de verificación. También se denota como: código BCH (15, 11) .

El código BCH con${\displaystyle d=4,5}$tiene el polinomio generador

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\rm {lcm}}(m_{1}(x),m_{2}(x),m_{3}(x),m_{4}(x))=m_{1}(x)m_{3}(x)\\&=\left(x^{4}+x+1\right)\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)=x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+1.\end{aligned}}}$

Tiene una distancia de Hamming mínima de al menos 5 y corrige hasta dos errores. Dado que el polinomio generador es de grado 8, este código tiene 7 bits de datos y 8 bits de suma de verificación. También se denota como: código BCH (15, 7) .

El código BCH con${\displaystyle d=6,7}$tiene el polinomio generador

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\rm {lcm}}(m_{1}(x),m_{2}(x),m_{3}(x),m_{4}(x),m_{5}(x),m_{6}(x))=m_{1}(x)m_{3}(x)m_{5}(x)\\&=\left(x^{4}+x+1\right)\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)=x^{10}+x^{8}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1.\end{aligned}}}$

Tiene una distancia de Hamming mínima de al menos 7 y corrige hasta tres errores. Dado que el polinomio generador es de grado 10, este código tiene 5 bits de datos y 10 bits de suma de verificación. También se denota como: código BCH (15, 5) . (Este polinomio generador en particular tiene una aplicación práctica en la información de formato del código QR ).

El código BCH con${\displaystyle d=8}$y superior tiene el polinomio generador

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\rm {lcm}}(m_{1}(x),m_{2}(x),...,m_{14}(x))=m_{1}(x)m_{3}(x)m_{5}(x)m_{7}(x)\\&=\left(x^{4}+x+1\right)\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{4}+x^{3}+1\right)=x^{14}+x^{13}+x^{12}+\cdots +x^{2}+x+1.\end{aligned}}}$

Este código tiene una distancia de Hamming mínima de 15 y corrige 7 errores. Tiene 1 bit de datos y 14 bits de suma de verificación. También se denota como: código BCH (15, 1) . De hecho, este código tiene solo dos palabras clave: 000000000000000 y 111111111111111 (un código de repetición trivial ).

El algoritmo de Peterson es el paso 2 del procedimiento generalizado de decodificación BCH. El algoritmo de Peterson se utiliza para calcular los coeficientes del polinomio localizador de errores. ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{v}}$de un polinomio

${\displaystyle \Lambda (x)=1+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\cdots +\lambda _{v}x^{v}.}$

Ahora el procedimiento del algoritmo de Peterson-Gorenstein-Zierler. ^{[ 8 ]} Esperemos que tengamos al menos 2 t síndromes s _c , ..., s _{c +2 t −1} . Sea v  = t . 

Sin embargo, existe un método más eficiente conocido como el algoritmo de Forney .

Dejar

${\displaystyle S(x)=s_{c}+s_{c+1}x+s_{c+2}x^{2}+\cdots +s_{c+d-2}x^{d-2}.}$

${\displaystyle v\leqslant d-1,\lambda _{0}\neq 0\qquad \Lambda (x)=\sum _{i=0}^{v}\lambda _{i}x^{i}=\lambda _{0}\prod _{k=0}^{v}\left(\alpha ^{-i_{k}}x-1\right).}$

Y el polinomio evaluador de errores ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \Omega (x)\equiv S(x)\Lambda (x){\bmod {x^{d-1}}}}$

Finalmente:

${\displaystyle \Lambda '(x)=\sum _{i=1}^{v}i\cdot \lambda _{i}x^{i-1},}$

dónde

${\displaystyle i\cdot x:=\sum _{k=1}^{i}x.}$

Que si los síndromes pudieran explicarse mediante una palabra de error, que podría ser distinta de cero solo en posiciones${\displaystyle i_{k}}$, entonces los valores de error son

${\displaystyle e_{k}=-{\alpha ^{i_{k}}\Omega \left(\alpha ^{-i_{k}}\right) \over \alpha ^{c\cdot i_{k}}\Lambda '\left(\alpha ^{-i_{k}}\right)}.}$

Para los códigos BCH de sentido estricto, c = 1, por lo que la expresión se simplifica a:

${\displaystyle e_{k}=-{\Omega \left(\alpha ^{-i_{k}}\right) \over \Lambda '\left(\alpha ^{-i_{k}}\right)}.}$

Se basa en la interpolación de Lagrange y en técnicas de generación de funciones .

Considerar${\displaystyle S(x)\Lambda (x),}$y por simplicidad supongamos${\displaystyle \lambda _{k}=0}$para${\displaystyle k>v,}$y${\displaystyle s_{k}=0}$para${\displaystyle k>c+d-2.}$Entonces

${\displaystyle S(x)\Lambda (x)=\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{j}s_{j-i+1}\lambda _{i}x^{j}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)\Lambda (x)&=S(x)\left\{\lambda _{0}\prod _{\ell =1}^{v}\left(\alpha ^{i_{\ell }}x-1\right)\right\}\\&=\left\{\sum _{i=0}^{d-2}\sum _{j=1}^{v}e_{j}\alpha ^{(c+i)\cdot i_{j}}x^{i}\right\}\left\{\lambda _{0}\prod _{\ell =1}^{v}\left(\alpha ^{i_{\ell }}x-1\right)\right\}\\&=\left\{\sum _{j=1}^{v}e_{j}\alpha ^{ci_{j}}\sum _{i=0}^{d-2}\left(\alpha ^{i_{j}}\right)^{i}x^{i}\right\}\left\{\lambda _{0}\prod _{\ell =1}^{v}\left(\alpha ^{i_{\ell }}x-1\right)\right\}\\&=\left\{\sum _{j=1}^{v}e_{j}\alpha ^{ci_{j}}{\frac {\left(x\alpha ^{i_{j}}\right)^{d-1}-1}{x\alpha ^{i_{j}}-1}}\right\}\left\{\lambda _{0}\prod _{\ell =1}^{v}\left(\alpha ^{i_{\ell }}x-1\right)\right\}\\&=\lambda _{0}\sum _{j=1}^{v}e_{j}\alpha ^{ci_{j}}{\frac {\left(x\alpha ^{i_{j}}\right)^{d-1}-1}{x\alpha ^{i_{j}}-1}}\prod _{\ell =1}^{v}\left(\alpha ^{i_{\ell }}x-1\right)\\&=\lambda _{0}\sum _{j=1}^{v}e_{j}\alpha ^{ci_{j}}\left(\left(x\alpha ^{i_{j}}\right)^{d-1}-1\right)\prod _{\ell \in \{1,\cdots ,v\}\setminus \{j\}}\left(\alpha ^{i_{\ell }}x-1\right)\end{aligned}}}$

Queremos calcular incógnitas${\displaystyle e_{j},}$y podríamos simplificar el contexto eliminando el${\displaystyle \left(x\alpha ^{i_{j}}\right)^{d-1}}$términos. Esto conduce al polinomio evaluador de errores.

${\displaystyle \Omega (x)\equiv S(x)\Lambda (x){\bmod {x^{d-1}}}.}$

Gracias a${\displaystyle v\leqslant d-1}$tenemos

${\displaystyle \Omega (x)=-\lambda _{0}\sum _{j=1}^{v}e_{j}\alpha ^{ci_{j}}\prod _{\ell \in \{1,\cdots ,v\}\setminus \{j\}}\left(\alpha ^{i_{\ell }}x-1\right).}$

Gracias a${\displaystyle \Lambda }$(el truco de interpolación de Lagrange) la suma degenera en un solo sumando para${\displaystyle x=\alpha ^{-i_{k}}}$

${\displaystyle \Omega \left(\alpha ^{-i_{k}}\right)=-\lambda _{0}e_{k}\alpha ^{c\cdot i_{k}}\prod _{\ell \in \{1,\cdots ,v\}\setminus \{k\}}\left(\alpha ^{i_{\ell }}\alpha ^{-i_{k}}-1\right).}$

Llegar${\displaystyle e_{k}}$Simplemente deberíamos deshacernos del producto. Podríamos calcular el producto directamente a partir de raíces ya calculadas.${\displaystyle \alpha ^{-i_{j}}}$de${\displaystyle \Lambda ,}$pero podríamos usar una forma más simple.

Como derivado formal

${\displaystyle \Lambda '(x)=\lambda _{0}\sum _{j=1}^{v}\alpha ^{i_{j}}\prod _{\ell \in \{1,\cdots ,v\}\setminus \{j\}}\left(\alpha ^{i_{\ell }}x-1\right),}$

obtenemos nuevamente solo un sumando en

${\displaystyle \Lambda '\left(\alpha ^{-i_{k}}\right)=\lambda _{0}\alpha ^{i_{k}}\prod _{\ell \in \{1,\cdots ,v\}\setminus \{k\}}\left(\alpha ^{i_{\ell }}\alpha ^{-i_{k}}-1\right).}$

Así que finalmente

${\displaystyle e_{k}=-{\frac {\alpha ^{i_{k}}\Omega \left(\alpha ^{-i_{k}}\right)}{\alpha ^{c\cdot i_{k}}\Lambda '\left(\alpha ^{-i_{k}}\right)}}.}$

Esta fórmula es ventajosa cuando se calcula la derivada formal de${\displaystyle \Lambda }$forma

${\displaystyle \Lambda (x)=\sum _{i=1}^{v}\lambda _{i}x^{i}}$

flexible:

${\displaystyle \Lambda '(x)=\sum _{i=1}^{v}i\cdot \lambda _{i}x^{i-1},}$

dónde

${\displaystyle i\cdot x:=\sum _{k=1}^{i}x.}$

El objetivo es encontrar una palabra clave que difiera lo menos posible de la palabra recibida en posiciones legibles. Al expresar la palabra recibida como la suma de la palabra clave más cercana y la palabra de error, intentamos encontrar la palabra de error con el menor número posible de caracteres distintos de cero en posiciones legibles. Síndrome${\displaystyle s_{i}}$restringe la palabra de error por condición

${\displaystyle s_{i}=\sum _{j=0}^{n-1}e_{j}\alpha ^{ij}.}$

Podríamos escribir estas condiciones por separado o podríamos crear un polinomio.

${\displaystyle S(x)=\sum _{i=0}^{d-2}s_{c+i}x^{i}}$

y comparar coeficientes cerca de las potencias${\displaystyle 0}$a${\displaystyle d-2.}$

${\displaystyle S(x){\stackrel {\{0,\cdots ,\,d-2\}}{=}}E(x)=\sum _{i=0}^{d-2}\sum _{j=0}^{n-1}e_{j}\alpha ^{ij}\alpha ^{cj}x^{i}.}$

Supongamos que hay una letra ilegible en la posición${\displaystyle k_{1},}$podríamos reemplazar un conjunto de síndromes${\displaystyle \{s_{c},\cdots ,s_{c+d-2}\}}$por conjunto de síndromes${\displaystyle \{t_{c},\cdots ,t_{c+d-3}\}}$definido por ecuación${\displaystyle t_{i}=\alpha ^{k_{1}}s_{i}-s_{i+1}.}$Supongamos que para una palabra de error todas las restricciones del conjunto original${\displaystyle \{s_{c},\cdots ,s_{c+d-2}\}}$Los síndromes se mantienen, que

${\displaystyle t_{i}=\alpha ^{k_{1}}s_{i}-s_{i+1}=\alpha ^{k_{1}}\sum _{j=0}^{n-1}e_{j}\alpha ^{ij}-\sum _{j=0}^{n-1}e_{j}\alpha ^{j}\alpha ^{ij}=\sum _{j=0}^{n-1}e_{j}\left(\alpha ^{k_{1}}-\alpha ^{j}\right)\alpha ^{ij}.}$

Un nuevo conjunto de síndromes restringe el vector de error.

${\displaystyle f_{j}=e_{j}\left(\alpha ^{k_{1}}-\alpha ^{j}\right)}$

del mismo modo que el conjunto original de síndromes restringió el vector de error.${\displaystyle e_{j}.}$Excepto la coordenada${\displaystyle k_{1},}$donde tenemos${\displaystyle f_{k_{1}}=0,}$un${\displaystyle f_{j}}$es cero, si${\displaystyle e_{j}=0.}$Con el objetivo de localizar posiciones de error podríamos cambiar el conjunto de síndromes de manera similar para reflejar todos los caracteres ilegibles. Esto acorta el conjunto de síndromes en${\displaystyle k.}$

En la formulación polinómica, el reemplazo de síndromes se establece${\displaystyle \{s_{c},\cdots ,s_{c+d-2}\}}$por síndromes establecidos${\displaystyle \{t_{c},\cdots ,t_{c+d-3}\}}$conduce a

${\displaystyle T(x)=\sum _{i=0}^{d-3}t_{c+i}x^{i}=\alpha ^{k_{1}}\sum _{i=0}^{d-3}s_{c+i}x^{i}-\sum _{i=1}^{d-2}s_{c+i}x^{i-1}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle xT(x){\stackrel {\{1,\cdots ,\,d-2\}}{=}}\left(x\alpha ^{k_{1}}-1\right)S(x).}$

Después de la sustitución de${\displaystyle S(x)}$por${\displaystyle S(x)\Gamma (x)}$Se requeriría una ecuación para los coeficientes cercanos a las potencias.${\displaystyle k,\cdots ,d-2.}$

Se podría considerar la búsqueda de posiciones de error desde el punto de vista de eliminar la influencia de posiciones dadas, de manera similar a como se hace con los caracteres ilegibles. Si encontramos${\displaystyle v}$posiciones tales que eliminar su influencia conduce a obtener un conjunto de síndromes que consisten en todos ceros, entonces existe un vector de error con errores solo en estas coordenadas.${\displaystyle \Lambda (x)}$denota el polinomio eliminando la influencia de estas coordenadas, obtenemos

${\displaystyle S(x)\Gamma (x)\Lambda (x){\stackrel {\{k+v,\cdots ,d-2\}}{=}}0.}$

En el algoritmo euclidiano, intentamos corregir como máximo${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(d-1-k)}$errores (en posiciones legibles), porque con un mayor número de errores podría haber más palabras clave a la misma distancia de la palabra recibida. Por lo tanto, para${\displaystyle \Lambda (x)}$Estamos buscando que la ecuación se cumpla para coeficientes cercanos a potencias que comienzan desde

${\displaystyle k+\left\lfloor {\frac {1}{2}}(d-1-k)\right\rfloor .}$

En la fórmula de Forney,${\displaystyle \Lambda (x)}$podría multiplicarse por un escalar dando el mismo resultado.

Podría suceder que el algoritmo euclidiano encuentre${\displaystyle \Lambda (x)}$de grado superior a${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(d-1-k)}$tener un número de raíces diferentes igual a su grado, donde la fórmula de Fourney podría corregir errores en todas sus raíces, de todos modos corregir tantos errores podría ser arriesgado (especialmente sin otras restricciones en la palabra recibida). Por lo general, después de obtener${\displaystyle \Lambda (x)}$de grado superior, decidimos no corregir los errores. La corrección podría fallar en el caso${\displaystyle \Lambda (x)}$Tiene raíces con mayor multiplicidad o el número de raíces es menor que su grado. El fallo también podría detectarse mediante la fórmula de Forney, que devuelve un error fuera del alfabeto transmitido.

Consideremos un código BCH en GF(2 ⁴ ) con${\displaystyle d=7}$y${\displaystyle g(x)=x^{10}+x^{8}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1}$. (Esto se utiliza en códigos QR .) Sea el mensaje a transmitir [1 1 0 1 1] , o en notación polinómica,${\displaystyle M(x)=x^{4}+x^{3}+x+1.}$ Los símbolos de "suma de verificación" se calculan dividiendo${\displaystyle x^{10}M(x)}$por${\displaystyle g(x)}$y tomando el resto, resultando en${\displaystyle x^{9}+x^{4}+x^{2}}$o [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ] . Estos se añaden al mensaje, por lo que la palabra clave transmitida es [ 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ] .

Ahora, imaginemos que hay dos errores de bits en la transmisión, por lo que la palabra clave recibida es [ 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 ]. En notación polinómica:

${\displaystyle R(x)=C(x)+x^{13}+x^{5}=x^{14}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{5}+x^{4}+x^{2}}$

Para corregir los errores, primero calcule los síndromes. Tomando${\displaystyle \alpha =0010,}$tenemos${\displaystyle s_{1}=R(\alpha ^{1})=1011,}$${\displaystyle s_{2}=1001,}$${\displaystyle s_{3}=1011,}$${\displaystyle s_{4}=1101,}$${\displaystyle s_{5}=0001,}$y${\displaystyle s_{6}=1001.}$ A continuación, aplique el procedimiento de Peterson reduciendo por filas la siguiente matriz aumentada .

${\displaystyle \left[S_{3\times 3}|C_{3\times 1}\right]={\begin{bmatrix}s_{1}&s_{2}&s_{3}&s_{4}\\s_{2}&s_{3}&s_{4}&s_{5}\\s_{3}&s_{4}&s_{5}&s_{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1011&1001&1011&1101\\1001&1011&1101&0001\\1011&1101&0001&1001\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}0001&0000&1000&0111\\0000&0001&1011&0001\\0000&0000&0000&0000\end{bmatrix}}}$

Debido a la fila cero, S _3×3 es singular, lo cual no sorprende ya que solo se introdujeron dos errores en la palabra clave. Sin embargo, la esquina superior izquierda de la matriz es idéntica a [ S _2×2 | C _2×1 ] , lo que da lugar a la solución.${\displaystyle \lambda _{2}=1000,}$${\displaystyle \lambda _{1}=1011.}$ El polinomio localizador de errores resultante es${\displaystyle \Lambda (x)=1000x^{2}+1011x+0001,}$que tiene ceros en${\displaystyle 0100=\alpha ^{-13}}$y${\displaystyle 0111=\alpha ^{-5}.}$ Los exponentes de${\displaystyle \alpha }$corresponden a las ubicaciones de error. No es necesario calcular los valores de error en este ejemplo, ya que el único valor posible es 1.

Supongamos el mismo escenario, pero la palabra recibida tiene dos caracteres ilegibles [ 1 0 0 ? 1 1 ? 0 0 1 1 0 1 0 0 ]. Reemplazamos los caracteres ilegibles por ceros mientras creamos el polinomio que refleja sus posiciones.  ${\displaystyle \Gamma (x)=\left(\alpha ^{8}x-1\right)\left(\alpha ^{11}x-1\right).}$Calculamos los síndromes${\displaystyle s_{1}=\alpha ^{-7},s_{2}=\alpha ^{1},s_{3}=\alpha ^{4},s_{4}=\alpha ^{2},s_{5}=\alpha ^{5},}$y${\displaystyle s_{6}=\alpha ^{-7}.}$(Usando notación logarítmica que es independiente de los isomorfismos GF(2 ⁴ ). Para la verificación del cálculo podemos usar la misma representación para la suma que se usó en el ejemplo anterior. Descripción hexadecimal de las potencias de${\displaystyle \alpha }$son consecutivamente 1,2,4,8,3,6,C,B,5,A,7,E,F,D,9 con la suma basada en xor bit a bit.)

Hagamos un polinomio de síndrome

${\displaystyle S(x)=\alpha ^{-7}+\alpha ^{1}x+\alpha ^{4}x^{2}+\alpha ^{2}x^{3}+\alpha ^{5}x^{4}+\alpha ^{-7}x^{5},}$

calcular

${\displaystyle S(x)\Gamma (x)=\alpha ^{-7}+\alpha ^{4}x+\alpha ^{-1}x^{2}+\alpha ^{6}x^{3}+\alpha ^{-1}x^{4}+\alpha ^{5}x^{5}+\alpha ^{7}x^{6}+\alpha ^{-3}x^{7}.}$

Ejecutar el algoritmo euclidiano extendido:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{pmatrix}S(x)\Gamma (x)\\x^{6}\end{pmatrix}}\\[6pt]={}&{\begin{pmatrix}\alpha ^{-7}+\alpha ^{4}x+\alpha ^{-1}x^{2}+\alpha ^{6}x^{3}+\alpha ^{-1}x^{4}+\alpha ^{5}x^{5}+\alpha ^{7}x^{6}+\alpha ^{-3}x^{7}\\x^{6}\end{pmatrix}}\\[6pt]={}&{\begin{pmatrix}\alpha ^{7}+\alpha ^{-3}x&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{6}\\\alpha ^{-7}+\alpha ^{4}x+\alpha ^{-1}x^{2}+\alpha ^{6}x^{3}+\alpha ^{-1}x^{4}+\alpha ^{5}x^{5}+2\alpha ^{7}x^{6}+2\alpha ^{-3}x^{7}\end{pmatrix}}\\[6pt]={}&{\begin{pmatrix}\alpha ^{7}+\alpha ^{-3}x&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{4}+\alpha ^{-5}x&1\\1&0\end{pmatrix}}\\&\qquad {\begin{pmatrix}\alpha ^{-7}+\alpha ^{4}x+\alpha ^{-1}x^{2}+\alpha ^{6}x^{3}+\alpha ^{-1}x^{4}+\alpha ^{5}x^{5}\\\alpha ^{-3}+\left(\alpha ^{-7}+\alpha ^{3}\right)x+\left(\alpha ^{3}+\alpha ^{-1}\right)x^{2}+\left(\alpha ^{-5}+\alpha ^{-6}\right)x^{3}+\left(\alpha ^{3}+\alpha ^{1}\right)x^{4}+2\alpha ^{-6}x^{5}+2x^{6}\end{pmatrix}}\\[6pt]={}&{\begin{pmatrix}\left(1+\alpha ^{-4}\right)+\left(\alpha ^{1}+\alpha ^{2}\right)x+\alpha ^{7}x^{2}&\alpha ^{7}+\alpha ^{-3}x\\\alpha ^{4}+\alpha ^{-5}x&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{-7}+\alpha ^{4}x+\alpha ^{-1}x^{2}+\alpha ^{6}x^{3}+\alpha ^{-1}x^{4}+\alpha ^{5}x^{5}\\\alpha ^{-3}+\alpha ^{-2}x+\alpha ^{0}x^{2}+\alpha ^{-2}x^{3}+\alpha ^{-6}x^{4}\end{pmatrix}}\\[6pt]={}&{\begin{pmatrix}\alpha ^{-3}+\alpha ^{5}x+\alpha ^{7}x^{2}&\alpha ^{7}+\alpha ^{-3}x\\\alpha ^{4}+\alpha ^{-5}x&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{-5}+\alpha ^{-4}x&1\\1&0\end{pmatrix}}\\&\qquad {\begin{pmatrix}\alpha ^{-3}+\alpha ^{-2}x+\alpha ^{0}x^{2}+\alpha ^{-2}x^{3}+\alpha ^{-6}x^{4}\\\left(\alpha ^{7}+\alpha ^{-7}\right)+\left(2\alpha ^{-7}+\alpha ^{4}\right)x+\left(\alpha ^{-5}+\alpha ^{-6}+\alpha ^{-1}\right)x^{2}+\left(\alpha ^{-7}+\alpha ^{-4}+\alpha ^{6}\right)x^{3}+\left(\alpha ^{4}+\alpha ^{-6}+\alpha ^{-1}\right)x^{4}+2\alpha ^{5}x^{5}\end{pmatrix}}\\[6pt]={}&{\begin{pmatrix}\alpha ^{7}x+\alpha ^{5}x^{2}+\alpha ^{3}x^{3}&\alpha ^{-3}+\alpha ^{5}x+\alpha ^{7}x^{2}\\\alpha ^{3}+\alpha ^{-5}x+\alpha ^{6}x^{2}&\alpha ^{4}+\alpha ^{-5}x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha ^{-3}+\alpha ^{-2}x+\alpha ^{0}x^{2}+\alpha ^{-2}x^{3}+\alpha ^{-6}x^{4}\\\alpha ^{-4}+\alpha ^{4}x+\alpha ^{2}x^{2}+\alpha ^{-5}x^{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$