Conjetura de Atiyah

En matemáticas , la conjetura de Atiyah es un término colectivo para una serie de afirmaciones sobre restricciones en los posibles valores de${\displaystyle l^{2}}$-Números de Betti .

En 1976, Michael Atiyah presentó${\displaystyle l^{2}}$-cohomología de variedades con una acción cocompacta libre de un grupo discreto numerable (por ejemplo, el recubrimiento universal de una variedad compacta junto con la acción del grupo fundamental mediante transformaciones de cubierta ). Atiyah también definió${\displaystyle l^{2}}$-Los números de Betti son dimensiones de von Neumann del resultado${\displaystyle l^{2}}$grupos de cohomología y calculó varios ejemplos, que resultaron ser todos números racionales . Por lo tanto, preguntó si es posible${\displaystyle l^{2}}$-Los números de Betti son irracionales .

Desde entonces, varios investigadores han planteado preguntas más refinadas sobre los posibles valores de${\displaystyle l^{2}}$-Números de Betti, a los que habitualmente se hace referencia como "conjetura de Atiyah".

Peter Linnell demostró muchos resultados positivos . Por ejemplo, si el grupo que actúa es un grupo libre , entonces el${\displaystyle l^{2}}$-Los números de Betti son números enteros .

La pregunta más general que seguía abierta a finales de 2011 era si${\displaystyle l^{2}}$Los números de Betti son racionales si existe una cota para los órdenes de los subgrupos finitos del grupo que actúa. De hecho, se conjetura una relación precisa entre los posibles denominadores y los órdenes en cuestión ; en el caso de grupos sin torsión , esta afirmación generaliza la conjetura de los divisores de cero . Para un análisis más detallado, véase el artículo de B. Eckmann.

En caso de que no exista tal límite, Tim Austin demostró en 2009 que${\displaystyle l^{2}}$-Los números de Betti pueden asumir valores trascendentales . Posteriormente se demostró que, en ese caso, pueden ser cualquier número real no negativo .

• Atiyah, MF (1976). "Operadores elípticos, grupos discretos y álgebras de von Neumann". Coloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) . París: Soc. Matemáticas. Francia. págs.  43–72. Astérisque, núms. 32-33.

• Austin, Tim (2013). "Elementos racionales de anillos de grupos con núcleos de dimensión irracional". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 107 (6): 1424– 1448. arXiv : 0909.2360 . doi : 10.1112/plms/pdt029 .

• Eckmann, Beno (2000). "Introducción a${\displaystyle \ell _{2}}$-métodos en topología: reducidos${\displaystyle \ell _{2}}$-homología, cadenas armónicas,${\displaystyle \ell _{2}}$-Números de Betti" . Revista Israelí de Matemáticas . 117 : 183–219 . doi : 10.1007/BF02773570 . hdl : 20.500.11850/422760 .