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Articulo de referencia

cuadrado mágico asociativo

En el cuadrado Lo Shu , la suma de pares de números opuestos es 10. Detalle de Melancolía I que muestra un cuadrado asociativo de 4 × 4 Un cuadrado mágico asociativo es un cua...

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En el cuadrado Lo Shu , la suma de pares de números opuestos es  10.
Detalle de Melancolía I que muestra un cuadrado asociativo de 4 × 4

Un cuadrado mágico asociativo es un cuadrado mágico en el que la suma de cada par de números simétricamente opuestos al centro es igual. Para un cuadrado de n × n , lleno de los números del 1 al n² , esta suma común debe ser igual a n² + 1. Estos cuadrados también se denominan cuadrados mágicos asociativos , cuadrados mágicos regulares , cuadrados mágicos regulares o cuadrados mágicos simétricos . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]  

Ejemplos

Por ejemplo, el cuadrado Lo Shu —el único cuadrado mágico de 3 × 3— es asociativo, porque cada par de puntos opuestos forma una línea del cuadrado junto con el punto central, de modo que la suma de los dos puntos opuestos es igual a la suma de una línea menos el valor del punto central, independientemente de cuáles sean los dos puntos opuestos elegidos. [ 4 ] El cuadrado mágico de 4 × 4 del grabado Melancolía I de Albrecht Dürer de 1514 —que también se encuentra en una carta de Benjamin Franklin de 1765— también es asociativo, ya que cada par de números opuestos suma 17. [ 5 ]

Existencia y enumeración

Los números de posibles cuadrados mágicos asociativos n × n para n = 3,4,5,..., considerando dos cuadrados como iguales siempre que difieran únicamente por una rotación o reflexión, son:

1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ... (secuencia A081262 en el OEIS )

El número cero para n = 6 es un ejemplo de un fenómeno más general: los cuadrados mágicos asociativos no existen para valores de n que sean pares simples (iguales a 2 módulo 4). [ 3 ] Todo cuadrado mágico asociativo de orden par forma una matriz singular , pero los cuadrados mágicos asociativos de orden impar pueden ser singulares o no singulares. [ 4 ]

Referencias

  1. ↑ Frierson, LS ( 1917), "Notas sobre cuadrados mágicos pandiagonales y asociados" , en Andrews, WS (ed.), Cuadrados mágicos y cubos (2.ª  ed.), Open Court, págs. 229–244 
  2. ↑ Bell, Jordan; Stevens, Brett (2007), "Construcción de cuadrados latinos pandiagonales ortogonales y cuadrados panmágicos a partir de módulosnorte{\displaystyle n}-soluciones de reinas", Journal of Combinatorial Designs , 15 (3): 221– 234, doi : 10.1002/jcd.20143 , MR 2311190 , S2CID 121149492  
  3. 1 2 Nordgren, Ronald P. (2012), "Sobre las propiedades de las matrices cuadradas mágicas especiales", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 437 (8): 2009– 2025, doi : 10.1016/j.laa.2012.05.031 , MR 2950468 
  4. 1 2 Lee, Michael Z.; Love, Elizabeth; Narayan, Sivaram K.; Wascher, Elizabeth; Webster, Jordan D. (2012), "Sobre cuadrados mágicos regulares no singulares de orden impar", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 437 (6): 1346– 1355, doi : 10.1016/j.laa.2012.04.004 , MR 2942355 
  5. ↑ Pasles, Paul C. (2001), "Los cuadrados perdidos del Dr. Franklin: Los cuadrados perdidos de Ben Franklin y el secreto del círculo mágico", American Mathematical Monthly , 108 (6): 489– 511, doi : 10.1080/00029890.2001.11919777 , JSTOR 2695704 , MR 1840656 , S2CID 341378