Teorema de aproximación de Artin

En matemáticas , el teorema de aproximación de Artin es un resultado fundamental de Michael Artin ( 1969 ) en la teoría de la deformación que implica que las series de potencias formales con coeficientes en un campo k se aproximan bien mediante las funciones algebraicas en k . 

Más precisamente, Artin demostró dos de esos teoremas: uno, en 1968, sobre la aproximación de soluciones analíticas complejas mediante soluciones formales (en el caso${\displaystyle k=\mathbb {C} }$); y una versión algebraica de este teorema en 1969.

Dejar${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1},\dots ,x_{n}}$denota una colección de n indeterminadas ,${\displaystyle k[[\mathbf {x} ]]}$ el anillo de series de potencias formales con indeterminadas${\displaystyle \mathbf {x} }$sobre un campo k y${\displaystyle \mathbf {y} =y_{1},\dots,y_{n}}$un conjunto diferente de indeterminadas. Sea

${\displaystyle f(\mathbf {x},\mathbf {y})=0}$

ser un sistema de ecuaciones polinómicas en${\displaystyle k[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$y c un entero positivo . Entonces, dada una solución formal en serie de potencias${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\in k[[\mathbf {x} ]]}$Existe una solución algebraica.${\displaystyle \mathbf {y} (\mathbf {x} )}$que consiste en funciones algebraicas (más precisamente, series de potencias algebraicas) tales que

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\equiv \mathbf {y} (\mathbf {x} ){\bmod {(}}\mathbf {x} )^{c}.}$

Dado cualquier entero positivo c deseado , este teorema demuestra que se puede encontrar una solución algebraica que aproxima una solución formal en serie de potencias hasta el grado especificado por c . Esto conduce a teoremas que deducen la existencia de ciertos espacios de módulos formales de deformaciones como esquemas . Véase también: Criterio de Artin .

La siguiente afirmación alternativa se da en el Teorema 1.12 de Michael Artin ( 1969 ) . 

Dejar${\displaystyle R}$sea ​​un campo o un excelente anillo de valoración discreta, deje que${\displaystyle A}$ser la henselización en un ideal primordial de un${\displaystyle R}$-álgebra de tipo finito, sea m un ideal propio de${\displaystyle A}$, dejar${\displaystyle {\hat {A}}}$ser la finalización m -ádica de${\displaystyle A}$y dejar

${\displaystyle F\colon (A{\text{-álgebras}})\to ({\text{conjuntos}}),}$

Sea un functor que envía colímites filtrados a colímites filtrados (Artin llama a dicho functor localmente de presentación finita). Entonces, para cualquier entero c y cualquier${\displaystyle {\overline {\xi }}\in F({\hat {A}})}$, hay un${\displaystyle \xi \in F(A)}$de tal manera que

${\displaystyle {\overline {\xi }}\equiv \xi {\bmod {m}}^{c}}$.

• Anillo con la propiedad de aproximación
• Teorema de Popescu
• El criterio de Artin

• Artin, Michael (1969), "Aproximación algebraica de estructuras sobre anillos locales completos" , Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 23– 58, doi : 10.1007/BF02684596 , MR 0268188 
• Artin, Michael (1971). Espacios algebraicos . Monografías matemáticas de Yale. Vol.  3. New Haven, CT–Londres: Yale University Press . MR 0407012 . 
• Raynaud, Michel (1971), "Travaux récents de M. Artin" , Séminaire Nicolas Bourbaki , 11 (363): 279– 295, SEÑOR 3077132