Espacio de aproximación

En topología , una rama de las matemáticas , los espacios de aproximación son una generalización de los espacios métricos , basados ​​en distancias de punto a conjunto , en lugar de distancias de punto a punto. Fueron introducidos por Robert Lowen en 1989, en una serie de artículos sobre teoría de la aproximación publicados entre 1988 y 1995.

Dado un espacio métrico ( X , d ), o más generalmente, una pseudocuasimétrica extendida (que aquí se abreviará como métrica ∞pq ), se puede definir una aplicación inducida d : X × P( X ) → [0,∞] mediante d ( x , A ) = inf { d ( x , a ) : a ∈ A }. Con este ejemplo en mente, una distancia en X se define como una aplicación X × P( X ) → [0,∞] que satisface para todo x en X y A , B ⊆ X , 

1. d ( x , { x }) = 0,
2. d ( x , Ø) = ∞,
3. d ( x , A ∪ B ) = min( d ( x , A ), d ( x , B )),
4. Para todo 0 ≤ ε ≤ ∞, d ( x , A ) ≤ d ( x , A ^(ε) ) + ε,

donde definimos A ^(ε) = { x  : d ( x , A ) ≤ ε}.

(La convención de que " el ínfimo vacío es infinito positivo" es como la convención de que la intersección nula lo es todo ).

Un espacio de aproximación se define como un par ( X , d ) donde d es una función de distancia en X . Todo espacio de aproximación tiene una topología , dada al tratar A  → A ⁽⁰⁾ como un operador de cierre de Kuratowski . 

Las aplicaciones apropiadas entre espacios de aproximación son las contracciones . Una aplicación f : ( X , d ) → ( Y , e ) es una contracción si e ( f ( x ), f [ A ]) ≤ d ( x , A ) para todo x ∈ X y A ⊆ X .

Todo espacio ∞pq-métrico ( X , d ) puede distanciarse a ( X , d ), como se describe al principio de la definición.

Dado un conjunto X , la distancia discreta viene dada por d ( x , A ) = 0 si x ∈ A y d ( x , A ) = ∞ si x ∉ A . La topología inducida es la topología discreta .

Dado un conjunto X , la distancia indiscreta viene dada por d ( x , A ) = 0 si A no está vacío, y d ( x , A ) = ∞ si A está vacío. La topología inducida es la topología indiscreta.

Dado un espacio topológico X , la distancia topológica se define como d ( x , A ) = 0 si x ∈ A , y d ( x , A ) = ∞ en caso contrario. La topología inducida es la topología original. De hecho, las únicas distancias bivalentes son las distancias topológicas.

Sea P = [0, ∞] el conjunto extendido de los números reales no negativos . Sea d ⁺ ( x , A ) = max( x − sup A , 0) para x ∈ P y A ⊆ P . Dado cualquier espacio de aproximación ( X , d ), las aplicaciones (para cada A ⊆ X ) d (., A )  :  ( X , d )  →  ( P , d ⁺ ) son contracciones.

En P , sea e ( x , A ) = inf{| x − a |  : a ∈ A } para x < ∞, sea e (∞, A ) = 0 si A es no acotado, y sea e (∞, A ) = ∞ si A es acotado. Entonces ( P , e ) es un espacio de aproximación. Topológicamente, P es la compactificación de un punto de [0, ∞) . Nótese que e extiende la distancia euclidiana ordinaria. Esto no se puede hacer con la métrica euclidiana ordinaria.

Sea β N la compactificación de Stone-Čech de los enteros . Un punto U ∈ β N es un ultrafiltro en N. Un subconjunto A ⊆ β N induce un filtro F ( A ) = ∩ { U  : U ∈ A }. Sea b ( U , A ) = sup{ inf{ | n − j |  : n ∈ X , j ∈ E }  : X ∈ U , E ∈ F ( A ) }. Entonces (β N , b ) es un espacio de aproximación que extiende la distancia euclidiana ordinaria en N. En contraste, β N no es metrizable.

Lowen ha ofrecido al menos siete formulaciones equivalentes. Dos de ellas se muestran a continuación.

Sea XPQ( X ) el conjunto de métricas xpq en X . Una subfamilia G de XPQ( X ) se llama calibre si

1. 0 ∈ G , donde 0 es la métrica cero, es decir, 0( x , y ) = 0 para todo x , y ,
2. e ≤ d ∈ G implica e ∈ G ,
3. d , e ∈ G implica max( d , e ) ∈ G (el "max" aquí es el máximo puntual ),
4. Para todo d ∈ XPQ( X ), si para todo x ∈ X , ε > 0, N < ∞ hay e ∈ G tal que min( d ( x , y ), N ) ≤ e ( x , y ) + ε para todo y , entonces d ∈ G .

Si G es una función de calibre en X , entonces d ( x , A ) = sup { e ( x , a )}  : e ∈ G } es una función de distancia en X. Recíprocamente, dada una función de distancia d en X , el conjunto de e ∈ XPQ( X ) tales que e ≤ d es una función de calibre en X. Las dos operaciones son inversas entre sí.

Una contracción f : ( X , d ) → ( Y , e ) es, en términos de calibres asociados G y H respectivamente, una aplicación tal que para todo d ∈ H , d ( f (.), f (.)) ∈ G .

Una torre en X es un conjunto de aplicaciones A → A ^[ε] para A ⊆ X , ε ≥ 0, que satisfacen para todo A , B ⊆ X y δ, ε ≥ 0

1. A ⊆ A ^[ε] ,
2. Ø ^[ε] = Ø,
3. ( A ∪ B ) ^[ε] = A ^[ε] ∪ B ^[ε] ,
4. A ^[ε][δ] ⊆ A ^[ε+δ] ,
5. A ^[ε] = ∩ _δ>ε A ^[δ] .

Dada una distancia d , la función A → A ^(ε) asociada es una torre. Recíprocamente, dada una torre, la función d ( x , A ) = inf{ε  : x ∈ A ^[ε] } es una distancia, y estas dos operaciones son inversas entre sí.

Una contracción f :( X , d )→( Y , e ) es, en términos de torres asociadas, una aplicación tal que para todo ε ≥ 0, f [ A ^[ε] ] ⊆ f [ A ] ^[ε] .

El principal interés en los espacios de aproximación y sus contracciones radica en que forman una categoría con buenas propiedades, a la vez que conservan su carácter cuantitativo, similar al de los espacios métricos. Se pueden tomar productos , coproductos y cocientes arbitrarios, y los resultados generalizan adecuadamente los resultados correspondientes para topologías. Incluso se pueden "distanciar" espacios tan poco metrizables como β N , la compactificación de Stone-Čech de los enteros.

Ciertos hiperespacios, espacios de medida y espacios métricos probabilísticos resultan estar dotados naturalmente de una distancia. También se han realizado aplicaciones a la teoría de la aproximación .

• Lowen, Robert (1997). Espacios de aproximación: el eslabón perdido en la tríada topología-uniformidad-métrica . Monografías Matemáticas de Oxford. Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-850030-0. Zbl 0891.54001 . 
• Lowen, Robert (2015). Análisis de índices: la teoría del enfoque en acción . Springer.

• Robert Lowen