Transformación de estiramiento anamórfico

Una transformada de estiramiento anamórfico ( AST ), también conocida como transformada de estiramiento deformado, es una transformada de señal inspirada en la física que surgió de la transformada de Fourier dispersiva de estiramiento temporal . La transformada se puede aplicar a señales temporales analógicas, como señales de comunicación, o a datos espaciales digitales, como imágenes. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La transformada remodela los datos de tal manera que su salida tenga propiedades propicias para la compresión y el análisis de datos . La remodelación consiste en un estiramiento deformado en el dominio de Fourier. El nombre "anamórfico" se utiliza debido a la analogía metafórica entre la operación de estiramiento deformado y la deformación de imágenes en la anamorfosis ^{[ 3 ]} y en las obras de arte surrealistas . ^{[ 4 ]}

Una transformada de estiramiento anamórfico (AST) ^{[ 5 ] [ 6 ]} es una transformación matemática en la que los datos analógicos o digitales se estiran y deforman de manera que tienen en cuenta el contexto, de modo que se obtiene un muestreo no uniforme en el dominio de Fourier. La transformación se define como:

${\displaystyle AST\left\{{\tilde {E}}_{in}(\omega )\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }{{\tilde {E}}_{in}^{*}(\omega ){\tilde {E}}_{in}(\omega +\omega _{m})e^{j\omega _{m}\left[{\frac {\phi (\omega +\omega _{m})-\phi (\omega )}{\omega _{m}}}\right]}d\omega }}$

dónde${\textstyle {\tilde {E}}_{in}(\omega)}$es el espectro óptico de entrada,${\displaystyle \phi (\omega)}$es la fase espectral añadida por AST (${\textstyle e^{j\phi (\omega )}}$siendo el núcleo de deformación AST), y${\textstyle \omega }$y${\textstyle \omega _{m}}$denotan las frecuencias de modulación óptica y de envolvente, respectivamente. Los detalles del remodelado dependen de la escasez y redundancia de la señal de entrada y se pueden obtener mediante una función matemática, que se denomina "modulación estirada".${\displaystyle (S_{M})}$distribución" o "distribución de intensidad de modulación" (que no debe confundirse con una función diferente del mismo nombre utilizada en diagnósticos mecánicos).

${\displaystyle S_{M}\left(\omega _{m},T\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{\tilde {E}}_{in}^{*}(\omega ){\tilde {E}}_{in}(\omega +\omega _{m})e^{j\omega _{m}\left[{\frac {\phi (\omega +\omega _{m})-\phi (\omega )}{\omega _{m}}}\right]}e^{j\omega T}d\omega }}$

La distribución de modulación extendida es una representación 3D de un tipo de distribución tiempo-frecuencia bilineal similar, pero no idéntica, a otras distribuciones tiempo-frecuencia. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} Se puede interpretar el término fasorial añadido${\textstyle e^{j\omega T}}$para representar el efecto de un desplazamiento temporal en la autocorrelación espectral de la señal. Como resultado, la${\displaystyle S_{M}}$La distribución se puede utilizar para mostrar los efectos de la fase espectral AST.${\displaystyle \phi (\omega)}$sobre la duración temporal y el ancho de banda de la envolvente de intensidad de la señal de salida, lo cual es útil para visualizar el producto tiempo-ancho de banda de la señal. ^{[ 11 ]}

AST aplica una dispersión de grupo adaptada a diferentes características espectrales. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} Al hacer coincidir la dispersión del retardo de grupo con el espectro de la señal de interés particular, realiza un mapeo de frecuencia a tiempo de manera adaptada. Las porciones ricas en información del espectro se estiran en el tiempo más que las regiones dispersas del espectro, lo que facilita su captura con un convertidor analógico-digital (ADC) en tiempo real, similar a la metodología utilizada en la tecnología ADC de estiramiento temporal . Esta propiedad se ha llamado "estiramiento auto-adaptativo". Debido a que la operación es específica del espectro de la señal, no requiere conocimiento sobre el comportamiento instantáneo en el dominio del tiempo de la señal. Por lo tanto, no se necesita un control adaptativo en tiempo real . Los parámetros de AST se diseñan utilizando la propiedad espectral estadística (no instantánea) de la familia de señales de interés en la aplicación objetivo. ^{[ 15 ]} Una vez diseñados los parámetros, no necesitan responder al valor instantáneo de la señal. El muestreo no uniforme resultante, donde las porciones ricas en información de la señal se muestrean a una tasa mayor que las regiones dispersas, puede aprovecharse para la compresión de datos. Como cualquier otro método de compresión de datos, la compresión máxima que se puede lograr con AST depende de la señal. ^{[ 14 ]}

La precisión de reconstrucción y la naturaleza con pérdidas de este método de compresión se han analizado previamente. ^{[ 14 ]} El sistema remodela la estructura espectrotemporal de la señal de tal manera que casi toda la energía de la señal se encuentra dentro del ancho de banda del digitalizador en tiempo real del sistema de adquisición. Debido al ancho de banda limitado y a la resolución limitada del digitalizador, medida por su número efectivo de bits (ENOB), la reconstrucción nunca será ideal y, por lo tanto, se trata de un método de compresión con pérdidas . Por consiguiente, en la práctica solo se puede lograr una compresión moderada.

Alternativamente, el proceso de reconstrucción puede simplificarse enormemente si la información deseada se codifica en la envolvente espectral de la señal de entrada en lugar de la envolvente temporal. En tal caso, la salida real puede reconstruirse simplemente corrigiendo la distorsión de la salida medida mediante el núcleo de deformación diseñado. Esto se ha logrado experimentalmente para la compresión de imágenes ópticas . ^{[ 16 ]}

En la implementación digital de AST (DAST), que se realiza en 2D y se aplica a imágenes digitales, un núcleo de deformación diseñado adecuadamente estira la entrada de manera que reduce el ancho de banda espacial general y, por lo tanto, el requisito de muestreo. La ecuación anterior para AST se puede reescribir en forma discreta para DAST como: ${\displaystyle {\breve {B}}[n,m]=\left|\sum _{k_{1},k_{2}=-\infty }^{\infty }K\left[n-k_{1},m-k_{2}\right]\cdot B\left[k_{1},k_{2}\right]\right|^{N}}$,

dónde${\textstyle K[n,m]=e^{j\phi [n,m]}}$es la versión digital del núcleo de deformación. Similar al caso de las formas de onda temporales 1-D, la forma de onda deformada puede muestrearse a una tasa menor que la que era posible anteriormente con el submuestreo uniforme ingenuo. Esta propiedad, conocida como "estiramiento selectivo de características", puede utilizarse para la compresión de imágenes digitales. Hay dos desafíos en DAST, (1) reconstrucción de la imagen y (2) diseño del núcleo de deformación. El mapeo deformado se realiza típicamente en el dominio de la frecuencia . La reconstrucción (mapeo inverso) de la imagen espacial mediante la transformada de Fourier requiere conocimiento de la fase además de la amplitud de la imagen deformada. En los artículos originales de AST ^{[ 5 ]} y DAST, ^{[ 17 ]} se asumió una recuperación de fase ideal para mostrar el impacto útil de la transformación de deformación. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, también se ha demostrado que la recuperación de fase y la reconstrucción de la señal dependen de la relación señal/ruido (SNR). ^{[ 14 ]} Una SNR finita comprometerá la calidad de la recuperación de fase y la compresión de datos. Debido a este desafío, la implementación práctica de la compresión de datos anamórfica aún no se ha logrado. Con respecto al desafío de encontrar el núcleo adecuado, recientemente se ha publicado un algoritmo. ^{[ 15 ]}

De forma similar al método de reconstrucción simplificado mencionado anteriormente, recientemente se ha publicado una implementación digital para la compresión de imágenes que utiliza la deformación directa. ^{[ 18 ]} En este método alternativo de compresión de datos, las porciones ricas en información de los datos se dilatan en un proceso que emula el efecto de la dispersión de la velocidad de grupo en las señales temporales. Con esta operación de codificación, los datos se pueden submuestrear a una tasa menor que sin ella, incluso considerando la sobrecarga en la transmisión de la información de deformación. A diferencia de la implementación anterior de la compresión de estiramiento deformado, aquí la decodificación se puede realizar sin necesidad de recuperación de fase.

La transformada de estiramiento de fase (PST) es un método computacional para el procesamiento de señales e imágenes. Una de sus aplicaciones es la detección y clasificación de características. Tanto la transformada de estiramiento de fase como la transformada de estiramiento de fase transforman la imagen emulando la propagación a través de un medio difractivo con una propiedad dispersiva tridimensional ( índice de refracción ) diseñada. La diferencia entre ambas operaciones matemáticas radica en que la transformada de estiramiento de fase utiliza la magnitud de la amplitud compleja tras la transformación, mientras que la transformada de estiramiento de fase emplea la fase de dicha amplitud. Asimismo, los detalles del núcleo del filtro difieren en ambos casos.

• transformación de estiramiento de fase