Amplitud versus desplazamiento

En 1919, Karl Bernhard Zoeppritz derivó cuatro ecuaciones que determinan las amplitudes de las ondas reflejadas y refractadas en una interfaz plana para una onda P incidente en función del ángulo de incidencia y seis parámetros elásticos independientes. ^{[ 2 ]} Estas ecuaciones tienen 4 incógnitas y pueden resolverse, pero no proporcionan una comprensión intuitiva de cómo varían las amplitudes de reflexión con las propiedades de la roca involucrada. ^{[ 3 ]}

P. Richards y C. Frasier ^{[ 4 ]} ampliaron los términos para los coeficientes de reflexión y transmisión para una onda P incidente sobre una interfaz sólido-sólido y simplificaron el resultado asumiendo solo pequeños cambios en las propiedades elásticas a través de la interfaz. Por lo tanto, los cuadrados y los productos diferenciales son lo suficientemente pequeños como para tender a cero y eliminarse. Esta forma de las ecuaciones permite observar los efectos de las variaciones de densidad y velocidad de las ondas P o S en las amplitudes de reflexión. Esta aproximación se popularizó en el libro de 1980, Sismología Cuantitativa, de K. Aki y P. Richards, y desde entonces se la conoce comúnmente como la aproximación de Aki y Richards. ^{[ 5 ]}

Ostrander fue el primero en introducir una aplicación práctica del efecto AVO, demostrando que una arena de gas subyacente a una lutita exhibía variación de amplitud con el desplazamiento. ^{[ 6 ]}

Shuey modificó aún más las ecuaciones asumiendo —como lo había hecho Ostrander— que el coeficiente de Poisson era la propiedad elástica más directamente relacionada con la dependencia angular del coeficiente de reflexión. ^{[ 3 ]} Esto da como resultado la ecuación de Shuey de 3 términos: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle R(\theta )=R(0)+G\sin ^{2}\theta +F(\tan ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )}$

dónde

${\displaystyle R(0)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}+{\frac {\Delta \rho }{\rho }}\right)}$

y

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}-2{\frac {V_{\mathrm {S} }^{2}}{V_{\mathrm {P} }^{2}}}\left({\frac {\Delta \rho }{\rho }}+2{\frac {\Delta V_{\mathrm {S} }}{V_{\mathrm {S} }}}\right)}$ ;${\displaystyle F={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}}$

dónde${\displaystyle {\theta }}$=ángulo de incidencia;${\displaystyle {V_{p}}}$= Velocidad de la onda P en el medio;${\displaystyle {{\Delta }V_{p}}}$= Contraste de velocidad de la onda P a través de la interfaz;${\displaystyle {V_{s}}}$= Velocidad de la onda S en el medio;${\displaystyle {{\Delta }V_{s}}}$= Contraste de velocidad de onda S a través de la interfaz;${\displaystyle {\rho }}$= densidad en el medio;${\displaystyle {{\Delta }{\rho }}}$= contraste de densidad a través de la interfaz;

En la ecuación de Shuey, R(0) es el coeficiente de reflexión a incidencia normal y está controlado por el contraste de impedancias acústicas. G, a menudo denominado gradiente AVO, describe la variación de las amplitudes de reflexión a distancias intermedias, y el tercer término, F, describe el comportamiento a ángulos grandes/distancias lejanas cercanas al ángulo crítico. Esta ecuación se puede simplificar aún más asumiendo que el ángulo de incidencia es menor de 30 grados (es decir, la distancia es relativamente pequeña), por lo que el tercer término tenderá a cero. Este es el caso en la mayoría de los estudios sísmicos y da lugar a la "Aproximación de Shuey".

${\displaystyle R(\theta )=R(0)+G\sin ^{2}\theta }$

Este fue el desarrollo final necesario antes de que el análisis AVO pudiera convertirse en una herramienta comercial para la industria petrolera. ^{[ 7 ]}

Se construye un conjunto CMP, se acondicionan las trazas para que hagan referencia al mismo tiempo de viaje bidireccional, se ordenan según su desplazamiento creciente y se extrae la amplitud de cada traza en un horizonte temporal específico. Recordando la aproximación de Shuey de dos términos, se grafica la amplitud de cada traza en función del seno al cuadrado de su desplazamiento y la relación se vuelve lineal, como se observa en el diagrama. Mediante regresión lineal , se puede calcular una línea de mejor ajuste que describe cómo varía la amplitud de la reflexión con el desplazamiento utilizando solo dos parámetros: la intersección, P, y el gradiente, G.

Según la aproximación de Shuey, la intersección P corresponde a R(0), la amplitud de reflexión en el desplazamiento cero, y el gradiente G describe el comportamiento en el desplazamiento no normal, un valor conocido como gradiente AVO. Al graficar P (o R(0)) frente a G para cada muestra de tiempo en cada conjunto CMP, se obtiene un diagrama de dispersión AVO que puede interpretarse de diversas maneras.