matriz de signos alternados

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}}$

Las siete matrices de signos alternados de tamaño 3

En matemáticas , una matriz de signos alternados es una matriz cuadrada de 0, 1 y -1 tal que la suma de cada fila y columna es 1 y las entradas no nulas en cada fila y columna alternan su signo. Estas matrices generalizan las matrices de permutación y surgen naturalmente al usar la condensación de Dodgson para calcular un determinante. ^{[ 1 ]} También están estrechamente relacionadas con el modelo de seis vértices con condiciones de contorno de pared de dominio de la mecánica estadística . Fueron definidas por primera vez por William Mills, David Robbins y Howard Rumsey en el contexto anterior.

Las matrices de permutación son precisamente las matrices de signos alternados que no contienen −1 .

Un ejemplo de una matriz de signos alternos que no es una matriz de permutación es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

El teorema de la matriz de signos alternos establece que el número de${\displaystyle n\times n}$Las matrices de signos alternos son

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots (3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.}$

Los primeros términos de esta secuencia para n = 0, 1, 2, 3, … son

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, … (secuencia A005130 en el OEIS ) .

Este teorema fue demostrado por primera vez por Doron Zeilberger en 1992. ^{[ 2 ]} En 1995, Greg Kuperberg dio una demostración breve ^{[ 3 ]} basada en la ecuación de Yang-Baxter para el modelo de seis vértices con condiciones de contorno de pared de dominio, que utiliza un cálculo de determinante debido a Anatoli Izergin. ^{[ 4 ]} En 2005, Ilse Fischer dio una tercera demostración utilizando lo que se denomina el método del operador . ^{[ 5 ]}

En 2001, A. Razumov y Y. Stroganov conjeturaron una conexión entre el modelo de bucle O(1), el modelo de bucle completamente empaquetado y las matrices de signo alternantes. ^{[ 6 ]} Esta conjetura fue demostrada en 2010 por Cantini y Sportiello. ^{[ 7 ]}

• Bressoud, David M. , Pruebas y confirmaciones: La historia de la conjetura de la matriz de signos alternos , MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, DC, 1999. ISBN 978-0521666466
• Bressoud, David M. y Propp, James, Cómo se resolvió la conjetura de la matriz de signos alternados , Notices of the American Mathematical Society , 46 (1999), 637–646.
• Mills, William H., Robbins, David P. y Rumsey, Howard Jr., Demostración de la conjetura de Macdonald, Inventiones Mathematicae , 66 (1982), 73–87.
• Mills, William H., Robbins, David P. y Rumsey, Howard Jr., Matrices de signos alternantes y particiones de planos descendentes, Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 34 (1983), 340–359.
• Propp, James, Las múltiples caras de las matrices de signo alterno , Matemáticas Discretas y Ciencias de la Computación Teórica , Número especial sobre Modelos Discretos: Combinatoria, Computación y Geometría (julio de 2001).
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., Naturaleza combinatoria del vector de estado fundamental del modelo de bucle O(1) , Theor. Math. Phys. , 138 (2004), 333–337.
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., Modelo de bucle O(1) con diferentes condiciones de contorno y clases de simetría de matrices de signo alterno], Theor. Math. Phys. , 142 (2005), 237–243, arXiv : cond-mat/0108103
• Robbins, David P. , La historia de${\displaystyle 1,2,7,42,429,7436,\dots }$, The Mathematical Intelligencer , 13 (2), 12–19 (1991), doi : 10.1007/BF03024081 .
• Zeilberger, Doron , Demostración de la conjetura refinada de la matriz de signos alternados , New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.

• Entrada de matriz de signos alternos en MathWorld
• Entrada de matrices de signos alternos en la base de datos FindStat