Prueba de hipótesis casi segura

En estadística, las pruebas de hipótesis casi seguras (o pruebas as) utilizan la convergencia casi segura para determinar la validez de una hipótesis estadística con probabilidad uno. Esto significa que, siempre que la hipótesis nula sea verdadera, una prueba as no la rechazará con probabilidad uno para todas las muestras suficientemente grandes. De manera similar, siempre que la hipótesis alternativa sea verdadera, una prueba as rechazará la hipótesis nula con probabilidad uno para todas las muestras suficientemente grandes. En este mismo sentido, un intervalo de confianza as contiene el parámetro de interés con probabilidad  uno. Dembo y Peres (1994) demostraron la existencia de pruebas de hipótesis casi seguras.

Para simplificar, supongamos que tenemos una secuencia de variables aleatorias normales independientes e idénticamente distribuidas ,${\displaystyle \textstyle x_{i}\sim N(\mu,1)}$, con media${\displaystyle \textstyle \mu }$y varianza unitaria. Supongamos que la naturaleza o la simulación han elegido la media verdadera como${\displaystyle \textstyle \mu _ {0}}$, entonces la función de distribución de probabilidad de la media,${\displaystyle \textstyle \mu }$, se da por

${\displaystyle \Pr(\mu \leq t)=[t\in [\mu _{0},+\infty ]]}$

donde se ha utilizado un corchete de Iverson . Un enfoque ingenuo para estimar esta función de distribución sería reemplazar la media verdadera en el lado derecho con una estimación como la media muestral,${\displaystyle \textstyle {\sombrero {\mu }}}$, pero

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} \left[t\in \left[{\widehat {\mu }},+\infty \right]\right]=\Pr({\widehat {\mu }}\leq t)\\[4pt]={}&\Phi ({\sqrt {n}}(t-\mu _{0}))\rightarrow \Pr(\mu \leq t)-0.5[\mu _{0}=t]\end{aligned}}}$

lo que significa que la aproximación a la verdadera función de distribución tendrá un desfase de 0,5 en la media verdadera. Sin embargo,${\displaystyle \textstyle \left[{\widehat {\mu }},+\infty \right]}$no es más que un intervalo de confianza unilateral del 50%; más generalmente, dejemos${\displaystyle \textstyle Z_{\alpha _ {n}}}$ser el valor crítico utilizado en un análisis unilateral${\displaystyle \textstyle 1-\alpha _ {n}}$intervalo de confianza, entonces

${\displaystyle \operatorname {E} \left[t\in \left[{\hat {\mu }}-{\frac {Z_{\alpha _{n}}}{\sqrt {n}}},+\infty \right]\right]\rightarrow \Pr(\mu \leq t)-\lim _{n\rightarrow +\infty }\alpha _{n}[\mu _{0}=t]}$

Si establecemos${\displaystyle \textstyle \alpha _ {n}=0,05}$, entonces el error de la aproximación se reduce de 0,5 a 0,05, lo que es un factor de 10. Por supuesto, si dejamos${\displaystyle \textstyle \alpha _{n}\rightarrow 0}$, entonces

${\displaystyle \operatorname {E} \left[t\in \left[{\widehat {\mu }}-{\frac {Z_{\alpha _{n}}}{\sqrt {n}}},+\infty \right]\right]\rightarrow \Pr(\mu \leq t)}$

Sin embargo, esto solo muestra que la expectativa está cerca del valor límite. Naaman (2016) demostró que establecer el nivel de significancia en${\displaystyle \textstyle \alpha _ {n}=n^{-p}}$con ${\displaystyle \textstyle p>1}$da como resultado un número finito de errores de tipo I y tipo II wp1 bajo condiciones de regularidad bastante suaves. Esto significa que para cada${\displaystyle \textstyle t}$, existe un${\displaystyle \textstyle N(t)}$, de tal manera que para todo${\displaystyle \textstyle n>N(t)}$,

${\displaystyle \left[t\in \left[{\widehat {\mu }}-{\frac {Z_{\alpha _{n}}}{\sqrt {n}}},+\infty \right]\right]=\Pr(\mu \leq t)}$

donde la igualdad se cumple wp  1. Por lo tanto, la función indicadora de un intervalo de confianza unilateral es una buena aproximación a la verdadera función de distribución.

• factor de Bayes
• La paradoja de Lindley
• Intervalo de confianza
• Prueba de hipótesis

• Naaman, Michael (2016). "Prueba de hipótesis casi segura y una resolución de la paradoja de Jeffreys-Lindley" . Revista electrónica de estadística . 10 (1): 1526– 1550. doi : 10.1214/16-EJS1146 .
• Dembo, Amir; Peres, Yuval (1994). "Un criterio topológico para la prueba de hipótesis". The Annals of Statistics . 22 (1): 106– 117. doi : 10.1214/aos/1176325360 .