Casi operador Mathieu

En física matemática , el operador casi Mathieu , llamado así por su similitud con el operador Mathieu ^{[ 1 ]} introducido por Émile Léonard Mathieu , ^{[ 2 ]} surge en el estudio del efecto Hall cuántico . Está dado por

${\displaystyle [H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }u](n)=u(n+1)+u(n-1)+2\lambda \cos(2\pi (\omega +n\alpha ))u(n),\,}$

actuando como un operador autoadjunto en el espacio de Hilbert${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$. Aquí${\displaystyle \alpha ,\omega \in \mathbb {T} ,\lambda >0}$son parámetros. En matemáticas puras , su importancia radica en que es uno de los ejemplos mejor comprendidos de un operador de Schrödinger ergódico . Por ejemplo, tres problemas (ahora todos resueltos) de los quince problemas de Barry Simon sobre operadores de Schrödinger "para el siglo XXI" presentaban el operador casi Mathieu. ^{[ 3 ]} En física, los operadores casi Mathieu pueden utilizarse para estudiar transiciones de metal a aislante como en el modelo de Aubry-André .

Para${\displaystyle \lambda =1}$, el operador casi Mathieu a veces se denomina ecuación de Harper .

La estructura del espectro de este operador fue conjeturada por primera vez por Mark Kac , quien ofreció diez martinis por la primera demostración de la siguiente conjetura:

A pesar de${\displaystyle \lambda \neq 0}$, todo irracional${\displaystyle a}$y todos los números enteros${\displaystyle n_{1},n_{2}}$, con${\displaystyle 0<n_{1}+n_{2}a<1}$, hay una brecha para el operador casi Mathieu en el que${\displaystyle k(E)=n_{1}+n_{2}a}$, dónde${\displaystyle k(E)}$es la densidad integrada de estados .

Este problema fue denominado "Problema de los Diez Martinis Secos" por Barry Simon, ya que era "más fuerte" que el problema más débil que se conoció como el "Problema de los Diez Martinis": ^{[ 1 ]}

A pesar de${\displaystyle \lambda \neq 0}$, todo irracional${\displaystyle a}$y todos${\displaystyle \omega }$, el espectro del operador casi Mathieu es un conjunto de Cantor .

Si${\displaystyle \alpha }$es un número racional , entonces${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$ es un operador periódico y, según la teoría de Floquet, su espectro es absolutamente continuo .

Ahora pasemos al caso cuando${\displaystyle \alpha }$es irracional . Dado que la transformación${\displaystyle \omega \mapsto \omega +\alpha }$es mínimo, por lo tanto el espectro de${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$no depende de${\displaystyle \omega }$Por otra parte, por ergodicidad, los soportes de las partes absolutamente continuas, singularmente continuas y puntuales puras del espectro son casi con seguridad independientes de${\displaystyle \omega }$Ahora se sabe que

• Para${\displaystyle 0<\lambda <1}$,${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$Tiene sin duda un espectro absolutamente continuo. ^{[ 4 ]} (Este fue uno de los problemas de Simon.)
• Para${\displaystyle \lambda =1}$,${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$seguramente tiene un espectro continuo puramente singular para cualquier irracional.${\displaystyle \alpha }$. ^{[ 5 ]}
• Para${\displaystyle \lambda >1}$,${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$tiene casi con seguridad un espectro de punto puro y exhibe localización de Anderson . ^{[ 6 ]} (Se sabe que casi con seguridad no puede ser reemplazado por seguramente). ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Que las medidas espectrales son singulares cuando${\displaystyle \lambda \geq 1}$sigue (a través del trabajo de Yoram Last y Simon) ^{[ 9 ]} del límite inferior del exponente de Lyapunov${\displaystyle \gamma (E)}$dado por

${\displaystyle \gamma (E)\geq \max\{0,\log(\lambda )\}.\,}$

Este límite inferior fue demostrado independientemente por Joseph Avron, Simon y Michael Herman , después de un argumento anterior casi riguroso de Serge Aubry y Gilles André. De hecho, cuando${\displaystyle E}$pertenece al espectro, la desigualdad se convierte en una igualdad (la fórmula de Aubry-André), demostrada por Jean Bourgain y Svetlana Jitomirskaya . ^{[ 10 ]}

Otra característica llamativa del operador casi Mathieu es que su espectro es un conjunto de Cantor para todos los números irracionales.${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \lambda >0}$. Esto fue demostrado por Ávila y Jitomirskaya resolviendo el ya famoso "Problema de los Diez Martinis" ^{[ 11 ]} (también uno de los problemas de Simon) después de varios resultados anteriores (incluidos genéricamente ^{[ 12 ]} y casi seguramente ^{[ 13 ]} con respecto a los parámetros).

Además, se sabe que la medida de Lebesgue del espectro del operador casi Mathieu es

${\displaystyle \operatorname {Leb} (\sigma (H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }))=|4-4\lambda |\,}$

a pesar de${\displaystyle \lambda >0}$. Para${\displaystyle \lambda =1}$Esto significa que el espectro tiene medida cero (esto fue propuesto por primera vez por Douglas Hofstadter y posteriormente se convirtió en uno de los problemas de Simon). ^{[ 14 ]} Para${\displaystyle \lambda \neq 1}$La fórmula fue descubierta numéricamente por Aubry y André y demostrada por Jitomirskaya y Krasovsky. Anteriormente, Last ^{[ 15 ] [ 16 ]} había demostrado esta fórmula para la mayoría de los valores de los parámetros.

El estudio del espectro para${\displaystyle \lambda =1}$conduce a la mariposa de Hofstadter , donde el espectro se muestra como un conjunto.