Subasta de pago total

En economía y teoría de juegos , una subasta de pago total es aquella en la que cada postor debe pagar independientemente de si gana el premio, que se otorga al mejor postor, como en una subasta convencional. Como demostraron Riley y Samuelson (1981), ^{[ 1 ]} la puja de equilibrio en una subasta de pago total con información privada es equivalente en ingresos a la puja en una subasta sellada de precio más alto o en una subasta abierta de precio ascendente.

En la versión más simple, existe información completa. El equilibrio de Nash se da cuando cada postor emplea una estrategia mixta y las ganancias esperadas son cero. ^{[ 2 ]} El ingreso esperado del vendedor es igual al valor del premio. Sin embargo, algunos experimentos y estudios económicos han demostrado que es común sobreofertar. Es decir, el ingreso del vendedor suele superar el valor del premio con la esperanza de obtener la oferta ganadora. En juegos repetidos, incluso los postores que ganan el premio con frecuencia probablemente sufrirán pérdidas a largo plazo. ^{[ 3 ]}

La subasta de pago total con información completa no tiene un equilibrio de Nash en estrategias puras, pero sí lo tiene en estrategias mixtas. ^{[ 4 ]}

La forma más sencilla de una subasta de pago total es la subasta de Tullock, a veces llamada lotería de Tullock en honor a Gordon Tullock , en la que todos presentan una oferta, pero tanto los perdedores como los ganadores pagan sus ofertas presentadas. ^{[ 5 ]} Esto es fundamental para describir ciertas ideas en la economía de la elección pública .

La subasta de un dólar es una subasta de Tullock para dos jugadores, o un juego multijugador en el que solo los dos postores más altos pagan sus ofertas. Otros ejemplos prácticos son la subasta de tarifa de puja y la rifa de un centavo ( conocida peyorativamente como una " subasta china " ^{[ 6 ]} ).

Existen otras formas de subastas de pago total, como la guerra de desgaste (también conocida como subasta biológica ^{[ 7 ]} ), en la que gana el mejor postor, pero todos (o más comúnmente, ambos) los postores pagan solo la oferta más baja. Los biólogos utilizan la guerra de desgaste para modelar las contiendas convencionales o las interacciones agonísticas que se resuelven sin recurrir a la agresión física .

El siguiente análisis sigue algunas reglas básicas. ^{[ 8 ]}

• Cada postor presenta una oferta, que solo depende de su valoración.
• Los postores desconocen las valoraciones de los demás postores.
• El análisis se basa en un entorno de valor privado independiente (VPI) donde la valoración de cada postor se extrae independientemente de una distribución uniforme [0,1]. En el entorno VPI, si mi valor es 0,6, entonces la probabilidad de que algún otro postor tenga un valor menor también es 0,6. En consecuencia, la probabilidad de que otros dos postores tengan un valor menor es${\textstyle 0.6^{2}=0.36}$.

En IPV, los postores son simétricos porque las valoraciones provienen de la misma distribución. Esto hace que el análisis se centre en estrategias de licitación simétricas y monótonas. Esto implica que dos postores con la misma valoración presentarán la misma oferta. Como resultado, bajo simetría, el postor con el valor más alto siempre ganará. ^{[ 8 ]}

Consideremos la versión para dos jugadores de la subasta de pago total y${\displaystyle v_{i},v_{j}}$Sean las valoraciones privadas independientes e idénticamente distribuidas en una distribución uniforme de [0,1]. Deseamos encontrar una función de oferta monótona creciente,${\displaystyle b(v)}$, que forma un equilibrio de Nash simétrico.

Si el jugador${\displaystyle i}$ofertas${\displaystyle b(x)}$Él gana la subasta solo si su oferta es mayor que la del jugador.${\displaystyle j}$oferta${\displaystyle b(v_{j})}$La probabilidad de que esto ocurra es

${\displaystyle \mathbb {P} [b(x)>b(v_{j})]=\mathbb {P} [x>v_{j}]=x}$, desde${\displaystyle b}$es monótono y${\displaystyle v_{j}\sim \mathrm {Unif} [0,1]}$

Por lo tanto, la probabilidad de asignación de bien a${\displaystyle i}$es${\displaystyle x}$. De este modo,${\displaystyle i}$la utilidad esperada de cuando puja como si su valor privado fuera${\displaystyle x}$es dado por

${\displaystyle u_{i}(x|v_{i})=v_{i}xb(x)}$.

Para${\displaystyle b}$ser un equilibrio bayesiano-nash,${\displaystyle u_{i}(x_{i}|v_{i})}$debería tener su máximo en${\displaystyle x_{i}=v_{i}}$de modo que${\displaystyle i}$no tiene incentivos para desviarse dado${\displaystyle j}$se mantiene firme en su oferta de${\displaystyle b(v_{j})}$.

${\displaystyle \implies u_{i}'(v_{i})=0\implies v_{i}=b'(v_{i})}$

Al integrarnos, obtenemos${\displaystyle b(v_{i})={\frac {v_{i}^{2}}{2}}+c}$.

Sabemos que si el jugador${\displaystyle i}$tiene valoración privada${\displaystyle v_{i}=0}$, entonces pujarán 0; ${\displaystyle b(0)=0}$Podemos usar esto para demostrar que la constante de integración también es 0.

Así, obtenemos${\displaystyle b(v_{i})={\frac {v_{i}^{2}}{2}}}$.

Dado que esta función es de hecho monótona creciente, esta estrategia de puja${\displaystyle b}$constituye un equilibrio de Nash bayesiano. Los ingresos de la subasta de pago total en este ejemplo son

${\displaystyle R=b(v_{1})+b(v_{2})={\frac {v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {v_{2}^{2}}{2}}}$

Desde ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$se extraen i.i.d. de Unif[0,1], el ingreso esperado es

${\displaystyle \mathbb {E} [R]=\mathbb {E} [{\frac {v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {v_{2}^{2}}{2}}]=\mathbb {E} [v^{2}]=\int \limits _{0}^{1}v^{2}dv={\frac {1}{3}}}$.

Debido al teorema de equivalencia de ingresos , todas las subastas con 2 jugadores tendrán un ingreso esperado de${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$cuando las valoraciones privadas son i.i.d. de Unif[0,1]. ^{[ 9 ]}

Supongamos que la subasta tiene${\displaystyle n}$postores neutrales al riesgo. Cada postor tiene un valor privado.${\displaystyle v_{i}}$extraído i.i.d. de una distribución suave común${\displaystyle F}$Dado que existe libre disposición, el valor de cada postor está limitado inferiormente por cero. Sin pérdida de generalidad, normalizamos el valor mínimo posible a cero.

Debido a que el juego es simétrico, la función de puja óptima debe ser la misma para todos los jugadores. Llamemos a esta función de puja óptima${\displaystyle \beta }$Dado que la ganancia de cada jugador se define como su ganancia esperada menos su puja, podemos definir recursivamente la función de puja óptima de la siguiente manera:

${\displaystyle \beta (v_{i})\in arg\max _{b\in \mathbb {R} }\left\{\mathbb {P} (\forall j\neq i:\beta (v_{j})\leq b)v_{i}-b\right\}}$

Tenga en cuenta que, debido a que F es suave, la probabilidad de un empate es cero. Esto significa que la probabilidad de ganar la subasta será igual a la CDF elevada al número de jugadores menos 1: es decir,${\displaystyle \mathbb {P} (\forall j\neq i:\beta (v_{j})\leq \beta (v_{i}))=F(v_{i})^{n-1}}$.

El objetivo ahora satisface los requisitos del teorema de la envolvente . Por lo tanto, podemos escribir: ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{v_{i}}F(\tau )^{n-1}d\tau &=(F(v_{i})^{n-1}\cdot v_{i}-\beta (v_{i}))-(F^{n-1}(0)\cdot 0-\beta (0))\\\beta (v_{i})&=F^{n-1}(v_{i})v_{i}-\int _{0}^{v_{i}}F(\tau )^{n-1}d\tau \\\beta (v_{i})&=\int _{0}^{v_{i}}\tau dF^{n-1}(\tau )\end{aligned}}}$

Esto produce la función de puja de equilibrio de Nash simétrica única.${\displaystyle \beta (v_{i})}$.

Consideremos a un funcionario corrupto que trata con donantes de campaña: cada uno le pide un favor cuyo valor oscila entre 0 y 1000 dólares (distribuidos uniformemente). Sus valoraciones reales son 250, 500 y 750 dólares. Solo pueden observar sus propias valoraciones. Cada uno le obsequia al funcionario con un regalo costoso: si gastan X dólares en el regalo, este tendrá un valor de X dólares para el funcionario. El funcionario solo puede conceder un favor y se lo concederá al donante que le ofrezca el regalo más caro.

Este es un modelo típico para subastas de pago total. Para calcular la puja óptima para cada donante, necesitamos normalizar las valoraciones {250, 500, 750} a {0,25, 0,5, 0,75} para que se pueda aplicar el IPV.

Según la fórmula para la oferta óptima:

${\displaystyle b_{i}(v_{i})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{i}}^{n}}$

Las ofertas óptimas para tres donantes bajo IPV son:

${\displaystyle b_{1}(v_{1})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{1}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.25}^{3}=0.0104}$

${\displaystyle b_{2}(v_{2})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{2}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.50}^{3}=0.0833}$

${\displaystyle b_{3}(v_{3})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{3}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.75}^{3}=0.2813}$

Para obtener la cantidad óptima real que cada uno de los tres donantes debería aportar, simplemente multiplique los valores de IPV por 1000:

${\displaystyle b_{1}real(v_{1}=0.25)=\$10.4}$

${\displaystyle b_{2}real(v_{2}=0.50)=\$83.3}$

${\displaystyle b_{3}real(v_{3}=0.75)=\$281.3}$

Este ejemplo implica que el funcionario finalmente recibirá $375, pero solo el tercer donante, que aportó $281.3, se ganará su favor. Cabe destacar que los otros dos donantes saben que sus valoraciones no son lo suficientemente altas (baja probabilidad de ganar), por lo que no donan mucho, equilibrando así la posible gran ganancia con la baja probabilidad de obtenerla.

Un ejemplo real de una subasta de pago total se puede encontrar como parte del formato del programa de juegos polaco Awantura o kasę .