Matriz de unos

En matemáticas , una matriz de unos o matriz de unos es una matriz donde cada entrada es igual a uno . ^{[ 1 ]} Por ejemplo:

${\displaystyle J_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{2,5}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{1,2}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}.\quad }$

Algunas fuentes llaman a la matriz de todos unos la matriz identidad , ^{[ 2 ]} pero ese término también puede referirse a la matriz identidad , un tipo diferente de matriz.

Un vector de unos o vector de todos unos es una matriz de unos que tiene forma de fila o columna ; no debe confundirse con los vectores unitarios .

Para una matriz J de n × n elementos iguales a unos , se cumplen las siguientes propiedades:

• La traza de J es igual a n , ^{[ 3 ]} y el determinante es igual a 0 para n ≥ 2, pero es igual a 1 si n = 1.
• El polinomio característico de J es${\displaystyle (xn)x^{n-1}}$.
• El polinomio mínimo de J es${\displaystyle x^{2}-nx}$.
• El rango de J es 1 y los autovalores son n con multiplicidad 1 y 0 con multiplicidad n − 1 . ^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$para${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$^{[ 5 ]}
• J es el elemento neutro del producto de Hadamard . ^{[ 6 ]}

Cuando J se considera como una matriz sobre los números reales , se cumplen las siguientes propiedades adicionales:

• J es una matriz semidefinida positiva .
• La matriz${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$es idempotente . ^{[ 5 ]}
• La exponencial matricial de J es${\displaystyle \exp(\mu J)=I+{\frac {e^{\mu n}-1}{n}}J}$

La matriz de unos surge en el campo matemático de la combinatoria , particularmente involucrando la aplicación de métodos algebraicos a la teoría de grafos . Por ejemplo, si A es la matriz de adyacencia de un grafo no dirigido G de n vértices , y J es la matriz de unos de la misma dimensión, entonces G es un grafo regular si y solo si AJ = JA . ^{[ 7 ]} Como segundo ejemplo, la matriz aparece en algunas demostraciones algebraicas lineales de la fórmula de Cayley , que da el número de árboles de expansión de un grafo completo , utilizando el teorema del árbol matricial .  

Las raíces cuadradas lógicas de una matriz de unos, matrices lógicas cuyo cuadrado es una matriz de unos, pueden utilizarse para caracterizar los grupoides centrales . Los grupoides centrales son estructuras algebraicas que cumplen la identidad.${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b}$Los grupoides centrales finitos tienen un número cuadrado de elementos, y las matrices lógicas correspondientes existen solo para esas dimensiones. ^{[ 8 ]}

• Matriz nula , una matriz donde todas las entradas son cero.
• Matriz de entrada única