Aliasing (experimentos factoriales)

En la teoría estadística de los experimentos factoriales , el aliasing es la propiedad de los diseños factoriales fraccionados que hace que algunos efectos se "aliasen" entre sí, es decir, que sean indistinguibles entre sí. Un objetivo primordial de la teoría de dichos diseños es controlar el aliasing para que los efectos importantes no se confundan entre sí. ^{[ 1 ]}

En un experimento factorial "completo", el número de combinaciones de tratamientos o celdas (véase más abajo ) puede ser muy grande. ^{[ nota 1 ]} Esto requiere limitar las observaciones a una fracción (subconjunto) de las combinaciones de tratamientos. El aliasing es un resultado automático e inevitable de observar dicha fracción. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Las propiedades de aliasing de un diseño a menudo se resumen mediante su resolución . Esta mide el grado en que el diseño evita el aliasing entre los efectos principales y las interacciones importantes. ^{[ 5 ]}

Los experimentos factoriales fraccionados han sido durante mucho tiempo una herramienta básica en la agricultura, ^{[ 6 ]} la tecnología alimentaria, ^{[ 7 ] [ 8 ]} la industria, ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} la medicina y la salud pública, ^{[ 12 ] [ 13 ]} y las ciencias sociales y del comportamiento. ^{[ 14 ]} Se utilizan ampliamente en la investigación exploratoria, ^{[ 15 ]} particularmente en experimentos de cribado, que tienen aplicaciones en la industria, el diseño de fármacos y la genética. ^{[ 16 ]} En todos estos casos, un paso crucial en el diseño de un experimento de este tipo es decidir el patrón de aliasing deseado, o al menos la resolución deseada.

Como se indica a continuación , el concepto de aliasing puede haber influido en la identificación de un fenómeno análogo en la teoría del procesamiento de señales.

Un experimento factorial se asocia con un conjunto de efectos . Cada factor determina un efecto principal , y cada conjunto de dos o más factores determina un efecto de interacción (o simplemente una interacción ) entre dichos factores. Cada efecto se define mediante un conjunto de relaciones entre las medias de las celdas , como se describe a continuación. En un diseño factorial fraccionado , los efectos se definen restringiendo estas relaciones a las celdas de la fracción. Cuando las relaciones restringidas para dos efectos diferentes resultan ser idénticas, se dice que los efectos están aliasados.

La presencia o ausencia de un efecto determinado en un conjunto de datos se comprueba mediante métodos estadísticos, principalmente el análisis de varianza . Si bien el aliasing tiene implicaciones significativas para la estimación y la comprobación de hipótesis, se trata fundamentalmente de un fenómeno combinatorio y algebraico. Por consiguiente, la construcción y el análisis de diseños fraccionarios dependen en gran medida de métodos algebraicos.

La definición de un diseño fraccional a veces se amplía para permitir múltiples observaciones de algunas o todas las combinaciones de tratamientos: un multisubconjunto de todas las combinaciones de tratamientos. ^{[ 17 ]} Una fracción que es un subconjunto (es decir, donde las combinaciones de tratamientos no se repiten) se denomina simple . La teoría que se describe a continuación se aplica a las fracciones simples.

En cualquier diseño, completo o fraccional, el valor esperado de una observación en una combinación de tratamiento dada se denomina media de celda , ^{[ 18 ]} que generalmente se denota con la letra griega μ. (El término celda se toma prestado de su uso en tablas de datos ).

Un contraste en las medias de las celdas es una combinación lineal de las medias de las celdas en la que los coeficientes suman 0. En el experimento de 2 × 3 ilustrado aquí, la expresión

${\displaystyle \mu _{11}-\mu _{12}}$

es un contraste que compara las respuestas medias de las combinaciones de tratamientos 11 y 12. (Los coeficientes aquí son 1 y –1).

Los efectos en un experimento factorial se expresan en términos de contrastes. ^{[ 19 ] [ 20 ]} En el ejemplo anterior, el contraste

${\displaystyle \mu _{11}+\mu _{12}+\mu _{13}-\mu _{21}-\mu _{22}-\mu _{23}}$

Se dice que pertenece al efecto principal del factor A, ya que contrasta con las respuestas al nivel "1" del factor.${\displaystyle A}$con aquellos para el nivel "2". Se dice que el efecto principal de A está ausente si esta expresión es igual a 0. ^{[ nota 2 ]} De manera similar,

${\displaystyle \mu _{11}+\mu _{21}-\mu _{12}-\mu _{22}}$ y 

${\displaystyle \mu _{11}+\mu _{21}-\mu _{13}-\mu _{23}}$

son contrastes pertenecientes al efecto principal del factor B. Por otro lado, los contrastes

${\displaystyle \mu _{11}-\mu _{12}-\mu _{21}+\mu _{22}}$ y 

${\displaystyle \mu _{11}-\mu _{13}-\mu _{21}+\mu _{23}}$

pertenecen a la interacción de A y B ; establecerlas iguales a 0 expresa la falta de interacción. ^{[ nota 3 ]} Estas designaciones, que se extienden a experimentos factoriales arbitrarios con tres o más factores, dependen del patrón de coeficientes, como se explica en otra parte . ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Dado que son los coeficientes de estos contrastes los que contienen la información esencial, a menudo se muestran como vectores columna . Para el ejemplo anterior, una tabla de este tipo podría verse así: ^{[ 23 ]}

Las columnas de dicha tabla se denominan vectores de contraste : sus componentes suman 0. Si bien en general existen muchas opciones posibles de columnas para representar un efecto dado, el número de dichas columnas —los grados de libertad del efecto— es fijo y viene dado por una fórmula bien conocida. ^{[ 24 ] [ 25 ]} En el ejemplo de 2 × 3 anterior, los grados de libertad para${\displaystyle A,B}$y el${\displaystyle A\times B}$Las interacciones son 1, 2 y 2, respectivamente.

En un experimento factorial fraccional, los vectores de contraste pertenecientes a un efecto dado se restringen a las combinaciones de tratamientos en la fracción. Así, en la mitad de la fracción {11, 12, 13} del ejemplo 2 × 3, los tres efectos pueden representarse mediante los vectores columna de la siguiente tabla:

La consecuencia de esta truncación —el aliasing— se describe a continuación .

Se permite que los factores en el diseño tengan diferentes números de niveles, como en un${\displaystyle 2\times 3\times 3}$experimento factorial (un experimento asimétrico o de niveles mixtos ).

Fijar una fracción de un diseño factorial completo.${\displaystyle U}$sea ​​un conjunto de vectores de contraste que representan un efecto (en particular, un efecto principal o una interacción) en el diseño factorial completo, y dejemos que${\displaystyle {\widetilde {U}}}$consisten en las restricciones de esos vectores a la fracción. Se dice que el efecto es

• conservada en la fracción si${\displaystyle {\widetilde {U}}}$consta de vectores de contraste;
• completamente perdido en la fracción si${\displaystyle {\widetilde {U}}}$consta de vectores constantes , es decir, vectores cuyas componentes son iguales; y
• En parte perdido de otro modo.

De manera similar, dejemos${\displaystyle U_{1}}$y${\displaystyle U_{2}}$representar dos efectos y dejar${\displaystyle {\widetilde {U}}_{1}}$y${\displaystyle {\widetilde {U}}_{2}}$sean sus restricciones a la fracción. Se dice que los dos efectos son

• sin alias en la fracción si cada vector en${\displaystyle {\widetilde {U}}_{1}}$es ortogonal (perpendicular) a todos los vectores en${\displaystyle {\widetilde {U}}_{2}}$y viceversa;
• completamente alias en la fracción si cada vector en${\displaystyle {\widetilde {U}}_{1}}$es una combinación lineal de vectores en${\displaystyle {\widetilde {U}}_{2}}$y viceversa; ^{[ nota 4 ]} y
• parcialmente alias de otra manera.

Finney ^{[ 27 ]} y Bush ^{[ 28 ]} introdujeron los términos «perdido» y «preservado» en el sentido aquí empleado. Sin embargo, a pesar de la larga trayectoria de este tema, su terminología no está del todo estandarizada. La literatura suele describir los efectos perdidos como «no estimables» en una fracción, ^{[ 29 ]} aunque la estimación no es el único aspecto a considerar. Rao ^{[ 30 ]} se refirió a los efectos preservados como «medibles a partir» de la fracción.

Las dos medias fracciones de una${\displaystyle 2^{3}}$Los experimentos factoriales descritos anteriormente son de un tipo especial: cada uno es el conjunto solución de una ecuación lineal utilizando aritmética modular . Más exactamente:

• La fracción${\displaystyle \{000,011,101,110\}}$es el conjunto solución de la ecuación${\displaystyle t_{1}+t_{2}+t_{3}=0{\pmod {2}}}$. Por ejemplo,${\displaystyle 011}$es una solución porque${\displaystyle 0+1+1=0{\pmod {2}}}$.
• De manera similar, la fracción${\displaystyle \{001,010,100,111\}}$es la solución establecida para${\displaystyle t_{1}+t_{2}+t_{3}=1{\pmod {2}}}$

Se dice que tales fracciones son regulares . Esta idea se aplica a las fracciones "clásicas".${\displaystyle s^{k}}$diseños, es decir,${\displaystyle s^{k}}$Diseños factoriales (o "simétricos") en los que el número de niveles,${\displaystyle s}$, de cada uno de los${\displaystyle k}$Los factores son un número primo o la potencia de un número primo.

Un diseño factorial fraccional es regular si es el conjunto solución de un sistema de una o más ecuaciones de la forma

${\displaystyle a_{1}t_{1}+\cdots +a_{k}t_{k}=b,}$

donde la ecuación es módulo${\displaystyle s}$si${\displaystyle s}$es primo y está en el campo finito.${\displaystyle GF(s)}$si${\displaystyle s}$es una potencia de un primo. ^{[ nota 6 ]} Estas ecuaciones se denominan ecuaciones definitorias ^{[ 33 ]} de la fracción. Cuando la ecuación o ecuaciones definitorias son homogéneas , se dice que la fracción es principal .

Una ecuación definitoria produce una fracción de tamaño${\displaystyle s^{k-1}}$, dos ecuaciones independientes de una fracción de tamaño${\displaystyle s^{k-2},}$y así sucesivamente. Dichas fracciones generalmente se denotan como${\displaystyle s^{k-r}}$diseños. Las medias fracciones descritas anteriormente son${\displaystyle 2^{3-1}}$diseños. La notación a menudo incluye la resolución como subíndice, en números romanos; las fracciones anteriores son así${\displaystyle 2_{III}^{3-1}}$diseños.

Asociado a cada expresión${\displaystyle a_{1}t_{1}+\cdots +a_{k}t_{k}}$es otro, a saber${\displaystyle A_{1}^{a_{1}}\cdots A_{k}^{a_{k}}}$, que reescribe los coeficientes como exponentes. Estas expresiones se denominan " palabras ", término tomado de la teoría de grupos . (En un ejemplo particular donde${\displaystyle k}$es un número específico, las letras${\displaystyle A,B,C\ldots }$se utilizan, en lugar de${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}\ldots }$.) Estas palabras se pueden multiplicar y elevar a potencias, donde la palabra${\displaystyle I=A_{1}^{0}\cdots A_{k}^{0}}$actúa como una identidad multiplicativa y, por lo tanto, forman un grupo abeliano.${\displaystyle \mathbb {G} }$, conocido como el grupo de efectos . ^{[ 34 ]} Cuando${\displaystyle s}$es primordial, uno tiene${\displaystyle W^{s}=I}$para cada elemento (palabra)${\displaystyle W\in \mathbb {G} }$; algo similar ocurre en el caso de potencia prima. En${\displaystyle 2^{k}}$experimentos factoriales, cada elemento de${\displaystyle \mathbb {G} }$representa un efecto principal o una interacción. En${\displaystyle s^{k}}$experimentos con${\displaystyle s>2}$, cada palabra de una letra representa el efecto principal de ese factor, mientras que las palabras más largas representan componentes de la interacción . ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]} Un ejemplo a continuación ilustra esto con${\displaystyle s=3}$.

A cada expresión definitoria (el lado izquierdo de una ecuación definitoria) le corresponde una palabra definitoria . Las palabras definitorias generan un subgrupo.${\displaystyle \mathbb {H} }$de${\displaystyle \mathbb {G} }$que se denomina de diversas maneras subgrupo alias , ^{[ 34 ]} subgrupo de contraste definitorio , ^{[ 38 ]} o simplemente subgrupo definitorio de la fracción. Cada elemento de${\displaystyle \mathbb {H} }$es una palabra definitoria ya que corresponde a una ecuación definitoria, como se puede demostrar. ^{[ 39 ]} Los efectos representados por las palabras definitorias se pierden completamente en la fracción, mientras que todos los demás efectos se conservan. Si${\displaystyle \mathbb {H} =\{I,W_{1},\ldots ,W_{\ell }\}}$, digamos, entonces la ecuación ^{[ nota 7 ]}

${\displaystyle I=W_{1}=\cdots =W_{\ell }}$

se denomina relación definitoria de la fracción. ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]} Esta relación se utiliza para determinar la estructura de aliasing de la fracción: Si un efecto dado está representado por la palabra${\displaystyle W}$, entonces sus alias se calculan multiplicando la relación definitoria por${\displaystyle W}$, es decir,

${\displaystyle W=WW_{1}=\cdots =WW_{\ell },}$

donde los productos${\displaystyle WW_{i}}$luego se simplifican. Esta relación indica aliasing completo (no parcial), y W no tiene aliasing con todos los demás efectos enumerados en${\displaystyle \mathbb {G} }$.

Las fracciones no regulares son comunes y tienen ciertas ventajas. Por ejemplo, no están restringidas a tener un tamaño que sea una potencia de${\displaystyle s}$, dónde${\displaystyle s}$es un número primo o una potencia de un número primo . Si bien se han desarrollado algunos métodos para abordar el aliasing en diseños no regulares en particular, no ha surgido ningún esquema algebraico general.

Existe un enfoque combinatorio universal , sin embargo, que se remonta a Rao. ^{[ 56 ] [ 57 ]} Si las combinaciones de tratamiento de la fracción se escriben como filas de una tabla, esa tabla es una matriz ortogonal . Estas filas a menudo se denominan "ejecuciones". Las columnas corresponderán a las${\displaystyle k}$Los factores y las entradas de la tabla serán simplemente los símbolos utilizados para los niveles de los factores, y no necesariamente números. El número de niveles no tiene por qué ser primo ni elevado a una potencia prima, y ​​puede variar de un factor a otro, de modo que la tabla puede ser una matriz de niveles mixtos . En esta sección, se permite que los diseños fraccionarios sean de niveles mixtos, a menos que se restrinja explícitamente.

Un parámetro clave de una matriz ortogonal es su fuerza , cuya definición se encuentra en el artículo sobre matrices ortogonales . Por lo tanto, se puede hablar de la fuerza de un diseño fraccional. Dos hechos importantes se derivan inmediatamente de su definición:

• Si una matriz (o fracción) tiene fuerza${\displaystyle t}$entonces también tiene fuerza${\displaystyle t'}$por cada${\displaystyle t'<t}$La potencia máxima del conjunto es de particular importancia.
• En una matriz de nivel fijo, todos los factores que tienen${\displaystyle s}$niveles, el número de carreras es un múltiplo de${\displaystyle s^{t}}$, dónde${\displaystyle t}$es la fuerza. Aquí${\displaystyle s}$No es necesario que sea un número primo o una potencia prima.

Para enunciar el siguiente resultado, es conveniente enumerar los factores del experimento del 1 al${\displaystyle k}$y dejar que cada subconjunto no vacío${\displaystyle I}$de${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$Corresponden a un efecto principal o interacción de la siguiente manera: ${\displaystyle I=\{i\}}$corresponde al efecto principal del factor ${\displaystyle i}$,${\displaystyle I=\{i,j\}}$corresponde a la interacción de factores${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$, etcétera.

Ejemplo : Consideremos un diseño factorial fraccionado con factores${\displaystyle A,B,C,D,E}$y máxima resistencia${\displaystyle t=3}$. Entonces:

1. Todos los efectos, hasta las interacciones de tres factores, se conservan en la fracción.
2. Los efectos principales no están correlacionados entre sí ni con las interacciones de dos factores.
3. Las interacciones de dos factores no están asociadas entre sí si comparten un factor. Por ejemplo, la${\displaystyle A\times B}$y${\displaystyle A\times C}$Las interacciones no tienen alias, pero la${\displaystyle A\times B}$y${\displaystyle C\times D}$Las interacciones pueden estar al menos parcialmente solapadas como el conjunto${\displaystyle \{A,B,C,D\}}$Contiene 4 elementos, pero la fuerza de la fracción es solo 3.

El Teorema Fundamental tiene una serie de consecuencias importantes. En particular, se deduce casi inmediatamente que si una fracción tiene fuerza${\displaystyle t}$entonces tiene resolución${\displaystyle t+1}$Con supuestos adicionales, es posible llegar a una conclusión más sólida:

Este resultado sustituye la condición de teoría de grupos (longitud mínima de palabra) en fracciones regulares por una condición combinatoria (fuerza máxima) en fracciones arbitrarias.

Ejemplo. Una clase importante de diseños de dos niveles no regulares son los diseños de Plackett-Burman . Al igual que todas las fracciones construidas a partir de matrices de Hadamard , tienen fuerza 2 y, por lo tanto, resolución 3. ^{[ 61 ]} El diseño más pequeño de este tipo tiene 11 factores y 12 ensayos (combinaciones de tratamientos), y se muestra en el artículo sobre dichos diseños. Dado que 2 es su fuerza máxima, ^{[ nota 10 ]} 3 es su resolución máxima. Algunos detalles sobre su patrón de aliasing se dan en la siguiente sección.

En la rutina${\displaystyle 2^{k}}$En fracciones no hay aliasing parcial: cada efecto se conserva o se pierde por completo, y los efectos no tienen aliasing o tienen aliasing completo. Lo mismo ocurre en las fracciones regulares.${\displaystyle s^{k}}$experimentos con${\displaystyle s>2}$si se consideran únicamente los efectos principales y los componentes de interacción. Sin embargo, en este último caso se produce una forma limitada de aliasing parcial. Por ejemplo, en el${\displaystyle 3^{4-1}}$diseño descrito anteriormente el general${\displaystyle A\times B\times C\times D}$La interacción se pierde parcialmente ya que su${\displaystyle ABCD^{2}}$El componente se pierde completamente en la fracción, mientras que sus otros componentes (como${\displaystyle AB^{2}C^{2}D}$) se conservan. De manera similar, el efecto principal de${\displaystyle A}$está parcialmente aliasado con el${\displaystyle B\times C\times D}$interacción desde${\displaystyle A}$está completamente aliasado con su${\displaystyle BCD^{2}}$componente y sin alias con los demás.

Por el contrario, el aliasing parcial es incontrolado y generalizado en fracciones no regulares. En el diseño de Plackett-Burman de 12 ensayos descrito en la sección anterior, por ejemplo, con factores etiquetados${\displaystyle A}$a través de${\displaystyle K}$, el único alias completo se da entre "efectos complementarios" como${\displaystyle A}$y${\displaystyle BCDEFGHIJK}$o${\displaystyle ABCJK}$y${\displaystyle DEFGHI}$. Aquí el efecto principal del factor${\displaystyle A}$no está asociado con los otros efectos principales y con el${\displaystyle AB}$interacción, pero está parcialmente aliaseada con 45 de las 55 interacciones de dos factores, 120 de las 165 interacciones de tres factores y 150 de las 330 interacciones de cuatro factores. Este fenómeno se describe generalmente como aliasing complejo . ^{[ 62 ]} De manera similar, 924 efectos se conservan en la fracción, 1122 efectos se pierden parcialmente y solo uno (la interacción de nivel superior)${\displaystyle ABCDEFGHIJK}$) está completamente perdido.

Wu y Hamada ^{[ 63 ]} analizan un conjunto de datos recopilados en el${\displaystyle 3_{IV}^{4-1}}$Diseño fraccional descrito anteriormente . Las pruebas de significancia en el análisis de varianza (ANOVA) requieren que la suma de cuadrados del error y los grados de libertad del error sean distintos de cero. Para garantizar esto, se han tomado dos decisiones de diseño:

• Se ha asumido la ausencia de interacciones entre tres o cuatro factores. Esta decisión es coherente con el principio de jerarquía de efectos . ^{[ 64 ]}
• Es necesaria la replicación (inclusión de observaciones repetidas). En este caso, se realizaron tres observaciones para cada una de las 27 combinaciones de tratamientos en la fracción, para un total de 81 observaciones.

La tabla adjunta muestra solo dos columnas de una tabla ANOVA ^{[ 65 ]} para este experimento. Solo se enumeran los efectos principales y los componentes de las interacciones de dos factores, incluyendo tres pares de alias. Se espera que existan alias entre algunas interacciones de dos factores, dado que la resolución máxima de este diseño es 4.

Este experimento estudió dos variables de respuesta. En ambos casos, algunas interacciones con alias resultaron estadísticamente significativas. Esto plantea un desafío de interpretación, ya que sin más información o supuestos adicionales es imposible determinar qué interacción es la responsable de la significancia. En algunos casos, puede existir una base teórica para realizar esta determinación. ^{[ 66 ]}

Este ejemplo muestra una ventaja de los diseños fraccionales. El diseño completo${\displaystyle 3^{4}}$El experimento factorial tiene 81 combinaciones de tratamientos, pero tomar una sola observación para cada una de ellas no dejaría grados de libertad para el error. El diseño fraccional también utiliza 81 observaciones, pero solo en 27 combinaciones de tratamientos, de manera que se pueden realizar inferencias sobre los efectos principales y sobre la mayoría de las interacciones de dos factores. Esto puede ser suficiente para fines prácticos.

El primer uso estadístico del término "aliasing" en la prensa se encuentra en el artículo de Finney de 1945, ^{[ 67 ]} que trataba sobre fracciones regulares con 2 o 3 niveles. El término se incorporó a la teoría del procesamiento de señales unos años más tarde, posiblemente influenciado por su uso en experimentos factoriales; la historia de dicho uso se describe en el artículo sobre aliasing en el procesamiento de señales .

El artículo de 1961 en el que Box y Hunter introdujeron el concepto de "resolución" trataba sobre diseños regulares de dos niveles, pero su definición inicial ^{[ 5 ]} no hace referencia a la longitud de las palabras definitorias (descritas anteriormente ) y, por lo tanto, puede entenderse de forma bastante general. Rao, de hecho, hace un uso implícito de la resolución en su artículo de 1947 ^{[ 68 ]} , donde introduce las matrices ortogonales, lo que se refleja en una importante desigualdad de parámetros que desarrolla. Distingue los efectos en diseños completos y fraccionales mediante el uso de símbolos.${\displaystyle [\cdots ]}$y${\displaystyle \{\cdots \}}$(correspondiente a${\displaystyle U}$y${\displaystyle {\widetilde {U}}}$), pero no menciona el aliasing.

El término confused se usa a menudo como sinónimo de aliased , por lo que hay que leer la literatura con atención. El primer término "generalmente se reserva para la indistinguibilidad de un contraste de tratamiento y un contraste de bloque", ^{[ 69 ]} es decir, para la confusión con bloques . Kempthorne ha demostrado ^{[ 70 ]} cómo la confusión con bloques en un${\displaystyle k}$El experimento de factor - puede considerarse como un alias en un diseño fraccional con${\displaystyle k+1}$factores, pero no está claro si se puede hacer lo contrario.

• El artículo sobre diseños factoriales fraccionados analiza ejemplos en experimentos de dos niveles.