Grupo algebraicamente cerrado

En teoría de grupos , un grupo es algebraicamente cerrado si cualquier conjunto finito de ecuaciones e inecuaciones que sean aplicables tienen una solución sin necesidad de una extensión del grupo . Esta noción se precisará más adelante en el artículo en el § Definición formal. ${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$

Supongamos que queremos encontrar un elemento de un grupo que satisfaga las condiciones (ecuaciones e inecuaciones): ${\displaystyle x\ }$${\displaystyle G\ }$

${\displaystyle x^{2}=1\ }$

${\displaystyle x^{3}=1\ }$

${\displaystyle x\neq 1\ }$

Entonces es fácil ver que esto es imposible porque las dos primeras ecuaciones implican . En este caso decimos que el conjunto de condiciones es incompatible con . (De hecho, este conjunto de condiciones es incompatible con cualquier grupo). ${\displaystyle x=1\ }$${\displaystyle G\ }$

Ahora supongamos que es el grupo con la tabla de multiplicar a la derecha. ${\displaystyle G\ }$

Entonces las condiciones:

${\displaystyle x^{2}=1\ }$

${\displaystyle x\neq 1\ }$

tiene una solución en , es decir . ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle x=a\ }$

Sin embargo las condiciones:

${\displaystyle x^{4}=1\ }$

${\displaystyle x^{2}a^{-1}=1\ }$

No tenemos solución , como se puede comprobar fácilmente. ${\displaystyle G\ }$

Sin embargo, si ampliamos el grupo al grupo con la tabla de multiplicar adyacente: ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle H\ }$

Entonces las condiciones tienen dos soluciones, a saber, y . ${\displaystyle x=b\ }$${\displaystyle x=c\ }$

Por lo tanto, existen tres posibilidades con respecto a tales condiciones:

• Pueden ser inconsistentes y no tener solución en ninguna extensión de .${\displaystyle G\ }$${\displaystyle G\ }$
• Quizás tengan una solución en .${\displaystyle G\ }$
• Puede que no tengan solución en , pero sin embargo tienen una solución en alguna extensión de .${\displaystyle G\ }$${\displaystyle H\ }$${\displaystyle G\ }$

Es razonable preguntarse si existen grupos tales que, siempre que un conjunto de condiciones como éstas tenga una solución, tenga una solución en sí mismo. La respuesta resulta ser "sí", y llamamos a esos grupos grupos algebraicamente cerrados. ${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$

Primero necesitamos algunas ideas preliminares.

Si es un grupo y es el grupo libre en un número contable de generadores, entonces por un conjunto finito de ecuaciones e inecuaciones con coeficientes en queremos decir un par de subconjuntos y del producto libre de y . ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle F\ }$ ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle E\ }$${\displaystyle I\ }$${\displaystyle F\star G}$${\displaystyle F\ }$${\displaystyle G\ }$

Esto formaliza la noción de un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que consta de variables y elementos de . El conjunto representa ecuaciones como: ${\displaystyle x_{i}\ }$${\displaystyle g_{j}\ }$${\displaystyle G\ }$${\displaystyle E\ }$

${\displaystyle x_{1}^{2}g_{1}^{4}x_{3}=1}$

${\displaystyle x_{3}^{2}g_{2}x_{4}g_{1}=1}$

${\displaystyle \dots \ }$

El conjunto representa inecuaciones como ${\displaystyle I\ }$

${\displaystyle g_{5}^{-1}x_{3}\neq 1}$

${\displaystyle \dots \ }$

Por una solución en este conjunto finito de ecuaciones e inecuaciones, entendemos un homomorfismo , tal que para todos y para todos , donde es el único homomorfismo que es igual a en y es la identidad en . ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle f:F\rightarrow G}$${\displaystyle {\tilde {f}}(e)=1\ }$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle {\tilde {f}}(i)\neq 1\ }$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle {\tilde {f}}:F\star G\rightarrow G}$${\displaystyle f\ }$${\displaystyle F\ }$${\displaystyle G\ }$

Esto formaliza la idea de sustituir elementos de por las variables para obtener identidades e inidentidades verdaderas. En el ejemplo, las sustituciones y dan como resultado: ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle x_{1}\mapsto g_{6},x_{3}\mapsto g_{7}}$${\displaystyle x_{4}\mapsto g_{8}}$

${\displaystyle g_{6}^{2}g_{1}^{4}g_{7}=1}$

${\displaystyle g_{7}^{2}g_{2}g_{8}g_{1}=1}$

${\displaystyle \dots \ }$

${\displaystyle g_{5}^{-1}g_{7}\neq 1}$

${\displaystyle \dots \ }$

Decimos que el conjunto finito de ecuaciones e inecuaciones es consistente con si podemos resolverlas en un grupo "más grande" . Más formalmente: ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle H\ }$

Las ecuaciones e inecuaciones son consistentes con si hay un grupo y una incrustación tales que el conjunto finito de ecuaciones e inecuaciones y tiene una solución en , donde es el único homomorfismo que es igual a en y es la identidad en . ${\displaystyle G\ }$${\displaystyle H\ }$${\displaystyle h:G\rightarrow H}$${\displaystyle {\tilde {h}}(E)}$${\displaystyle {\tilde {h}}(I)}$${\displaystyle H\ }$${\displaystyle {\tilde {h}}}$${\displaystyle {\tilde {h}}:F\star G\rightarrow F\star H}$${\displaystyle h\ }$${\displaystyle G\ }$${\displaystyle F\ }$

Ahora definimos formalmente que el grupo está algebraicamente cerrado si cada conjunto finito de ecuaciones e inecuaciones que tiene coeficientes en y es consistente con tiene una solución en . ${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$${\displaystyle A\ }$

Es difícil dar ejemplos concretos de grupos algebraicamente cerrados como lo indican los siguientes resultados:

• Todo grupo contable puede ser incluido en un grupo contable algebraicamente cerrado.
• Todo grupo algebraicamente cerrado es simple .
• Ningún grupo algebraicamente cerrado es generado finitamente .
• Un grupo algebraicamente cerrado no se puede presentar recursivamente .
• Un grupo finitamente generado tiene un problema verbal solucionable si y sólo si puede incluirse en cada grupo algebraicamente cerrado.

Las demostraciones de estos resultados son, en general, muy complejas. No obstante, a continuación se presenta un esbozo de la demostración de que un grupo numerable puede incluirse en un grupo algebraicamente cerrado. ${\displaystyle C\ }$

Primero integramos un grupo contable con la propiedad de que cada conjunto finito de ecuaciones con coeficientes en que es consistente en tiene una solución en como sigue: ${\displaystyle C\ }$${\displaystyle C_{1}\ }$${\displaystyle C\ }$${\displaystyle C_{1}\ }$${\displaystyle C_{1}\ }$

Solo hay un número contable de conjuntos finitos de ecuaciones e inecuaciones con coeficientes en . Fije una enumeración de ellos. Defina grupos inductivamente mediante: ${\displaystyle C\ }$${\displaystyle S_{0},S_{1},S_{2},\dots \ }$${\displaystyle D_{0},D_{1},D_{2},\dots \ }$

${\displaystyle D_{0}=C\ }$

${\displaystyle D_{i+1}=\left\{{\begin{matrix}D_{i}\ &{\mbox{if}}\ S_{i}\ {\mbox{is not consistent with}}\ D_{i}\\\langle D_{i},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\rangle &{\mbox{if}}\ S_{i}\ {\mbox{has a solution in}}\ H\supseteq D_{i}\ {\mbox{with}}\ x_{j}\mapsto h_{j}\ 1\leq j\leq n\end{matrix}}\right.}$

Ahora vamos a:

${\displaystyle C_{1}=\cup _{i=0}^{\infty }D_{i}}$

Ahora itere esta construcción para obtener una secuencia de grupos y sea: ${\displaystyle C=C_{0},C_{1},C_{2},\dots \ }$

${\displaystyle A=\cup _{i=0}^{\infty }C_{i}}$

Entonces es un grupo contable que contiene . Es algebraicamente cerrado porque cualquier conjunto finito de ecuaciones e inecuaciones que sea consistente con debe tener coeficientes en algún y, por lo tanto, debe tener una solución en . ${\displaystyle A\ }$${\displaystyle C\ }$${\displaystyle A\ }$${\displaystyle C_{i}\ }$${\displaystyle C_{i+1}\ }$

• Cierre algebraico
  • Campo algebraicamente cerrado

• A. Macintyre: Sobre grupos algebraicamente cerrados, ann. of Math, 96, 53-97 (1972)
• BH Neumann: Una nota sobre grupos algebraicamente cerrados. J. London Math. Soc. 27, 227-242 (1952)
• BH Neumann: El problema del isomorfismo para grupos algebraicamente cerrados. En: Word Problems, págs. 553-562. Ámsterdam: Holanda Septentrional 1973
• WR Scott: Grupos algebraicamente cerrados. Proc. Amer. Math. Soc. 2, 118-121 (1951)