Matroide algebraico

En matemáticas , un matroide algebraico es un matroide , una estructura combinatoria , que expresa una abstracción de la relación de independencia algebraica .

Dado un cuerpo de extensión L / K , el lema de Zorn permite demostrar que siempre existe un subconjunto algebraicamente independiente maximal de L sobre K. Además, todos los subconjuntos algebraicamente independientes maximales tienen la misma cardinalidad , conocida como grado de trascendencia de la extensión.

Para cada conjunto finito S de elementos de L , los subconjuntos algebraicamente independientes de S satisfacen los axiomas que definen los conjuntos independientes de un matroide . En este matroide, el rango de un conjunto de elementos es su grado de trascendencia, y el plano generado por un conjunto T de elementos es la intersección de L con el cuerpo K [ T ]. ^{[ 1 ]} Un matroide que puede generarse de esta manera se denomina algebraico o algebraicamente representable . ^{[ 2 ]} No se conoce una buena caracterización de los matroides algebraicos, ^{[ 3 ]} pero se sabe que ciertos matroides no son algebraicos; el más pequeño es el matroide de Vámos . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Muchos matroides finitos pueden representarse mediante una matriz sobre un cuerpo K , en la que los elementos del matroide corresponden a las columnas de la matriz, y un conjunto de elementos es independiente si el conjunto correspondiente de columnas es linealmente independiente . Todo matroide con una representación lineal de este tipo sobre un cuerpo F también puede representarse como un matroide algebraico sobre F , ^{[ 6 ] [ 7 ]} eligiendo una indeterminada para cada fila de la matriz y utilizando los coeficientes de la matriz dentro de cada columna para asignar a cada elemento del matroide una combinación lineal de estas trascendentales. Para cuerpos de característica cero (como los números reales), los matroides lineales y algebraicos coinciden, pero para otros cuerpos pueden existir matroides algebraicos que no sean lineales; ^{[ 8 ] [ 9 ]} de hecho, el matroide no-Pappus es algebraico sobre cualquier cuerpo finito, pero no lineal ni algebraico sobre ningún cuerpo de característica cero. ^{[ 7 ]} Sin embargo, si un matroide es algebraico sobre un cuerpo F de característica cero, entonces es lineal sobre F ( T ) para algún conjunto finito de trascendentales T sobre F ^{[ 5 ]} y sobre la clausura algebraica de F . ^{[ 7 ]}

Si un matroide es algebraico sobre una extensión simple F ( t ), entonces es algebraico sobre F. De ello se deduce que la clase de matroides algebraicos es cerrada bajo ^contracción , [ ^{10 ] y} que un matroide algebraico sobre F es algebraico sobre el cuerpo primo de F. [ ^{11 ]}

La clase de matroides algebraicos es cerrada bajo truncamiento y unión de matroides. ^{[ 12 ]} Se desconoce si el dual de un matroide algebraico es siempre algebraico ^{[ 13 ]} y no existe una caracterización de menores excluidos de la clase. ^{[ 12 ]}

El conjunto característico (algebraico) K ( M ) de un matroide M es el conjunto de posibles características de los cuerpos sobre los cuales M es algebraicamente representable. ^{[ 7 ]}

• Si 0 está en K ( M ) entonces todos los primos suficientemente grandes están en K ( M ). ^{[ 7 ]}
• Cada número primo aparece como característica única de algún matroide. ^{[ 7 ] [ 14 ]}
• Si M es algebraica sobre F, entonces cualquier contracción de M es algebraica sobre F y, por lo tanto ^, también lo es cualquier menor de M. ^{[ 12} ]

• Oxley, James G. (1992). Teoría de los matroides . Oxford Science Publications. Oxford: Oxford University Press . ISBN 0-19-853563-5. Zbl 0784.05002 . 
• Welsh, DJA (2010) [1976]. Teoría de los matroides . Courier Dover Publications. ISBN 9780486474397.
• White, Neil, ed. (1987), Geometrías combinatorias , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol.  29, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-33339-3, Zbl 0626.00007