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Expresión algebraica

En matemáticas , una expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes (generalmente, números algebraicos ), variables y las operaciones algebraicas básica...

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En matemáticas , una expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes (generalmente, números algebraicos ), variables y las operaciones algebraicas básicas : suma (+), resta (−), multiplicación (×), división (÷), potencias de números enteros y raíces ( potencias fraccionarias ), sin ningún signo relacional como = o <. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] . Por ejemplo ,3incógnita2−2incógnitay+do{\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}es una expresión algebraica. Dado que tomar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia 1/2 , lo siguiente también es una expresión algebraica:

1−incógnita21+incógnita2{\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}

Una ecuación algebraica es una ecuación que involucra polinomios , para la cual las expresiones algebraicas pueden ser soluciones .

Si el conjunto de constantes se restringe a números , cualquier expresión algebraica puede denominarse expresión aritmética . Sin embargo, las expresiones algebraicas pueden aplicarse a objetos más abstractos, como en el álgebra abstracta . Si las constantes se restringen a números enteros , el conjunto de números que pueden describirse mediante una expresión algebraica se denomina números algebraicos .

Por el contrario, los números trascendentales como π y e no son algebraicos, ya que no se derivan de constantes enteras ni de operaciones algebraicas. Generalmente, π se construye como una relación geométrica, y la definición de e requiere un número infinito de operaciones algebraicas. En términos más generales, las expresiones que son algebraicamente independientes de sus constantes y/o variables se denominan trascendentales .

Terminología

El álgebra tiene su propia terminología para describir las partes de una expresión:

1 – Exponente (potencia), 2 – coeficiente, 3 – término, 4 – operador, 5 – constante,incógnita,y{\displaystyle x,y}- variables

Convenciones

Variables

Por convención, las letras al principio del alfabeto (por ejemplo a,b,do{\displaystyle a,b,c}) se utilizan normalmente para representar constantes , y las que están hacia el final del alfabeto (por ejemploincógnita,y{\displaystyle x,y}yz{\displaystyle z}) se utilizan para representar variables . [ 4 ] Generalmente se escriben en cursiva. [ 5 ]

Exponentes

Por convención, los términos con la mayor potencia ( exponente ) se escriben a la izquierda, por ejemplo,incógnita2{\displaystyle x^{2}}está escrito a la izquierda deincógnita{\displaystyle x}Cuando un coeficiente es uno, generalmente se omite (por ejemplo1incógnita2{\displaystyle 1x^{2}}está escritoincógnita2{\displaystyle x^{2}}). [ 6 ] De igual modo, cuando el exponente (potencia) es uno, (por ejemplo3incógnita1{\displaystyle 3x^{1}}está escrito3incógnita{\displaystyle 3x}), [ 7 ] y, cuando el exponente es cero, el resultado siempre es 1 (por ejemplo3incógnita0{\displaystyle 3x^{0}}está escrito3{\displaystyle 3}, desdeincógnita0{\displaystyle x^{0}}siempre es1{\displaystyle 1}). [ 8 ]

En raíces de polinomios

Las raíces de una expresión polinómica de grado n , o equivalentemente las soluciones de una ecuación polinómica , siempre pueden escribirse como expresiones algebraicas si n < 5 (véase fórmula cuadrática , función cúbica y ecuación cuártica ). Dicha solución de una ecuación se denomina solución algebraica . Pero el teorema de Abel-Ruffini establece que no existen soluciones algebraicas para todas estas ecuaciones (solo para algunas de ellas) si n < 5.≥{\displaystyle \geq }5.

Expresiones racionales

Dados dos polinomiosPAG(incógnita){\displaystyle P(x)}y​​Q(incógnita){\displaystyle Q(x)}Su cociente se denomina expresión racional o simplemente fracción racional . [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] Una expresión racionalPAG(incógnita)Q(incógnita){\textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}se llama apropiado sigrados⁡PAG(incógnita)<grados⁡Q(incógnita){\displaystyle \deg P(x)<\deg Q(x)}y de lo contrario impropio . Por ejemplo, la fracción2incógnitaincógnita2−1{\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}es apropiado, y las fraccionesincógnita3+incógnita2+1incógnita2−5incógnita+6{\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}yincógnita2−incógnita+15incógnita2+3{\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}son impropias. Cualquier fracción racional impropia puede expresarse como la suma de un polinomio (posiblemente constante) y una fracción racional propia. En el primer ejemplo de una fracción impropia se tiene

incógnita3+incógnita2+1incógnita2−5incógnita+6=(incógnita+6)+24incógnita−35incógnita2−5incógnita+6,{\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}

donde el segundo término es una fracción racional propia. La suma de dos fracciones racionales propias también es una fracción racional propia. El proceso inverso de expresar una fracción racional propia como la suma de dos o más fracciones se llama descomposición en fracciones parciales . Por ejemplo,

2incógnitaincógnita2−1=1incógnita−1+1incógnita+1.{\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}

Aquí, los dos términos de la derecha se denominan fracciones parciales.

Fracción irracional

Una fracción irracional es aquella que contiene la variable bajo un exponente fraccionario. [ 12 ] Un ejemplo de fracción irracional es

incógnita1/2−13aincógnita1/3−incógnita1/2.{\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}

El proceso de transformar una fracción irracional en una fracción racional se conoce como racionalización . Toda fracción irracional cuyos radicales sean monomios puede racionalizarse hallando el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces y sustituyendo la variable por otra variable con el mínimo común múltiplo como exponente. En el ejemplo dado, el mínimo común múltiplo es 6, por lo tanto podemos sustituirincógnita=z6{\displaystyle x=z^{6}}para obtener

z3−13az2−z3.{\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}

Expresiones algebraicas y otras expresiones matemáticas

La tabla que aparece a continuación resume cómo se comparan las expresiones algebraicas con otros tipos de expresiones matemáticas según el tipo de elementos que pueden contener, de acuerdo con convenciones comunes pero no universales.

Una expresión algebraica racional (o expresión racional ) es una expresión algebraica que se puede escribir como un cociente de polinomios , como x² + 4x + 4. Una expresión algebraica irracional es aquella que no es racional, como √x + 4 .

Véase también

Notas

  1. ↑ Definición de "función algebraica" Archivada el 26/10/2020 en la Wayback Machine enla Enciclopedia de la Ciencia en Internet de David J. Darling
  2. ↑ Morris, Christopher G. (1992). Diccionario de ciencia y tecnología de Academic Press . Gulf Professional Publishing. pág. 74. expresión algebraica sobre un cuerpo. 
  3. ↑ "operación algebraica | Encyclopedia.com" . www.encyclopedia.com . Consultado el 27 de agosto de 2020 .
  4. ↑ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, página 71
  5. ↑ James E. Gentle, Álgebra lineal numérica para aplicaciones en estadística , Editorial: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 páginas, [James E. Gentle página 183]
  6. ↑ David Alan Herzog, Aprenda álgebra visualmente , Editorial John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 páginas, página 72
  7. ↑ John C. Peterson, Matemáticas técnicas con cálculo , Editorial Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 páginas, página 31
  8. ^ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Álgebra para estudiantes universitarios , Editor Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 páginas, página 222
  9. ↑ Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). Un curso de álgebra . American Mathematical Society. pág. 131. ISBN  9780821883945.
  10. ↑ Gupta, Parmanand. Matemáticas integrales XII . Laxmi Publications. pág. 739. ISBN  9788170087410.
  11. ↑ Lal, Bansi (2006). Temas de cálculo integral . Publicaciones Laxmi. pág. 53. ISBN  9788131800027.
  12. ↑ McCartney, Washington (1844). Los principios del cálculo diferencial e integral; y su aplicación a la geometría . pág. 203. 

Referencias

  • James, Robert Clarke; James, Glenn (1992). Diccionario de matemáticas . Springer. pág.  8. ISBN 9780412990410.