Transmisión acústica

El flujo acústico es un flujo constante en un fluido impulsado por la absorción de oscilaciones acústicas de alta amplitud . Este fenómeno puede observarse cerca de emisores de sonido o en las ondas estacionarias dentro de un tubo de Kundt . El flujo acústico fue explicado por primera vez por Lord Rayleigh en 1884. ^{[ 1 ]} Es el opuesto, menos conocido, de la generación de sonido por un flujo.

Existen dos situaciones en las que el sonido se absorbe en su medio de propagación:

• durante la propagación en flujo masivo (flujo de Eckart). ^{[ 2 ]} El coeficiente de atenuación es${\displaystyle \alpha =2\eta \omega ^{2}/(3\rho c^{3})}$, siguiendo la ley de Stokes (atenuación del sonido) . Este efecto es más intenso a frecuencias elevadas y es mucho mayor en el aire (donde la atenuación ocurre en una distancia característica).${\displaystyle \alpha ^{-1}}$~10  cm a 1 MHz ) que en agua ( ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$~100 m a 1  MHz). En el aire se le conoce como el viento de cuarzo .
• cerca de un límite (flujo de Rayleigh). Ya sea cuando el sonido llega a un límite, o cuando un límite vibra en un medio quieto. ^{[ 3 ]} Una pared que vibra paralelamente a sí misma genera una onda de corte, de amplitud atenuada dentro de la capa límite oscilante de Stokes . Este efecto se localiza en una longitud de atenuación de tamaño característico.${\displaystyle \delta =[\eta /(\rho \omega )]^{1/2}}$cuyo orden de magnitud es de unos pocos micrómetros tanto en el aire como en el agua a 1  MHz. El flujo generado debido a la interacción de ondas sonoras y microburbujas, polímeros elásticos ^{[ 4 ]} e incluso células biológicas ^{[ 5 ]} son ​​ejemplos de flujo acústico impulsado por límites.

Consideremos una onda sonora estacionaria plana que corresponde al campo de velocidad.${\displaystyle U(x,t)=v_{0}\cos kx\cos \omega t=\varepsilon \cos kx\Re (e^{-i\omega t})}$dónde${\displaystyle k=2\pi /\lambda =\omega /c}$Sea la dimensión característica (transversal) del problema.${\displaystyle l}$El campo de flujo que acabamos de describir corresponde a un flujo no viscoso . Sin embargo, los efectos viscosos serán importantes cerca de una pared sólida; entonces existe una capa límite de espesor (o profundidad de penetración).${\displaystyle \delta =(2\nu /\omega )^{1/2}}$. El flujo de Rayleigh se visualiza mejor en la aproximación${\displaystyle \lambda \gg l\gg \delta .}$Como en${\displaystyle U(x,t)}$, los componentes de velocidad${\displaystyle (u,v)}$son mucho menos que${\displaystyle c}$. Además, la escala de tiempo característica dentro de la capa límite es muy grande (debido a la pequeñez de${\displaystyle \delta }$) en comparación con la escala de tiempo acústica${\displaystyle l/c}$Estas observaciones implican que el flujo en la capa límite puede considerarse incompresible.

La ecuación de la capa límite inestable e incompresible es

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial U}{\partial t}}}$

donde los términos del lado derecho corresponden al gradiente de presión impuesto en la capa límite. El problema se puede resolver utilizando la función de corriente.${\displaystyle \psi }$que satisface${\displaystyle u=\partial \psi /\partial y}$y${\displaystyle v=-\partial \psi /\partial x.}$Dado que por definición el campo de velocidad${\displaystyle U}$En la onda sonora es muy pequeña, podemos obtener formalmente la solución para la ecuación de la capa límite introduciendo la serie asintótica para${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$como${\displaystyle u=\varepsilon u_{1}+\varepsilon ^{2}u_{2}+\cdots }$,${\displaystyle \psi =\varepsilon \psi _{1}+\varepsilon ^{2}\psi _{2}\cdots }$etc.

En la primera aproximación, se obtiene

${\displaystyle {\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial y^{2}}}=-\omega \cos kx\Re (ie^{-i\omega t}).}$

La solución que satisface la condición de no deslizamiento en la pared${\displaystyle y/\delta =0}$y enfoques${\displaystyle U}$como${\displaystyle y/\delta \rightarrow \infty }$es dado por

${\displaystyle u_{1}=\Re \left[\cos kx\,(1-e^{-\kappa y})\,e^{-i\omega t}\right],\quad \psi _{1}=\Re \left[\cos kx\,\zeta _{1}(y)\,e^{-i\omega t}\right]}$

dónde${\displaystyle \kappa =(1-i)/\delta }$y${\displaystyle \zeta _{1}=y+(e^{-\kappa y}-1)/\kappa .}$

La ecuación en el siguiente orden es

${\displaystyle {\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}-u_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}-v_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}.}$

Dado que cada término del lado derecho es cuadrático, dará como resultado términos con frecuencias${\displaystyle \omega +\omega =2\omega }$y${\displaystyle \omega -\omega =0.}$El${\displaystyle \omega =0}$Los términos corresponden a un forzamiento independiente del tiempo para${\displaystyle u_{2}}$. Busquemos una solución que corresponda únicamente a esta parte independiente del tiempo. Esto conduce a${\displaystyle \psi _{2}=\sin 2kx\,\zeta _{2}(y)/c}$dónde${\displaystyle \zeta _{2}}$satisface la ecuación ^{[ 6 ]}

${\displaystyle 2\delta \zeta _{2}'''=1-|\zeta _{1}'|^{2}+\Re (\zeta _{1}\zeta _{1}''),}$

donde las primas denotan diferenciación con respecto a${\displaystyle y.}$La condición de contorno en la pared implica que${\displaystyle \zeta (0)=\zeta '(0)=0.}$Como${\displaystyle y/\delta \rightarrow \infty }$,${\displaystyle \zeta _{2}}$debe ser finito. Integrando la ecuación anterior dos veces se obtiene

${\displaystyle \zeta _{2}'={\frac {3}{8}}-{\frac {1}{8}}e^{-2y/\delta }-e^{-y/\delta }\left[\sin {\frac {y}{\delta }}+{\frac {1}{4}}\cos {\frac {y}{\delta }}+{\frac {y}{4\delta }}\left(\sin {\frac {y}{\delta }}-\cos {\frac {y}{\delta }}\right)\right].}$

Como${\displaystyle y/\delta \rightarrow \infty }$,${\displaystyle \zeta '(\infty )=3/8}$, lo que lleva al resultado de que${\displaystyle v_{2}(x,\infty ,t)=(3/8c)\sin 2kx.}$Así, en el borde del límite, hay un movimiento de fluido constante superpuesto al movimiento oscilatorio. Esta fuerza de velocidad impulsará un movimiento de flujo constante fuera de la capa límite. El resultado interesante es que, dado que${\displaystyle v_{2}(\infty )}$es independiente de${\displaystyle \nu }$El movimiento de flujo constante que se produce fuera de la capa límite también es independiente de la viscosidad, aunque su origen se deba a la capa límite viscosa.

El movimiento externo continuo e incompresible dependerá de la geometría del problema. Si hay dos paredes, una en${\displaystyle y=0}$y${\displaystyle y=2h}$, entonces la solución es

${\displaystyle \psi _{2}={\frac {3}{16c}}\sin 2kx\,[-(y-h)+(y-h)^{3}/h^{2}],}$

lo que corresponde a una disposición periódica de vórtices que giran en sentido contrario, como se muestra en la figura.

El flujo acústico es un efecto no lineal. ^{[ 7 ]} Podemos descomponer el campo de velocidad en una parte de vibración y una parte estacionaria. ${\displaystyle {u}=v+{\overline {u}}}$La parte de vibración${\displaystyle v}$se debe al sonido, mientras que la parte constante es la velocidad de flujo acústico (velocidad promedio). Las ecuaciones de Navier-Stokes implican para la velocidad de flujo acústico:

${\displaystyle {\overline {\rho }}{\partial _{t}{\overline {u}}_{i}}+{\overline {\rho }}{\overline {u}}_{j}{\partial _{j}{\overline {u}}_{i}}=-{\partial {\overline {p}}_{i}}+\eta {\partial _{j}^{2}{\overline {u}}_{i}}-{\partial _{j}}({\overline {\rho v_{i}v_{j}}}/{\partial x_{j}}).}$

El flujo constante se origina a partir de una fuerza de cuerpo constante.${\displaystyle f_{i}=-{\partial }({\overline {\rho v_{i}v_{j}}})/{\partial x_{j}}}$que aparece en el lado derecho. Esta fuerza es función de lo que se conoce como las tensiones de Reynolds en la turbulencia.${\displaystyle -{\overline {\rho v_{i}v_{j}}}}$La tensión de Reynolds depende de la amplitud de las vibraciones sonoras, y la fuerza del cuerpo refleja las disminuciones en esta amplitud sonora.

Vemos que esta tensión es no lineal ( cuadrática ) en la amplitud de la velocidad. No es nula solo donde varía la amplitud de la velocidad. Si la velocidad del fluido oscila debido al sonido como${\displaystyle \epsilon \cos(\omega t)}$, entonces la no linealidad cuadrática genera una fuerza constante proporcional a${\displaystyle {\overline {\epsilon ^{2}\cos ^{2}(\omega t)}}=\epsilon ^{2}/2}$.

Aunque la viscosidad sea la responsable del flujo acústico, el valor de la viscosidad desaparece de las velocidades de flujo resultantes en el caso de la emisión acústica cerca del límite.

El orden de magnitud de las velocidades de flujo es: ^{[ 8 ]}

• cerca de un límite (fuera de la capa límite):

${\displaystyle U\sim -{3}/{(4\omega )}\times v_{0}dv_{0}/dx,}$

con${\displaystyle v_{0}}$la velocidad de vibración del sonido y${\displaystyle x}$a lo largo del límite de la pared. El flujo se dirige hacia las vibraciones sonoras decrecientes (nodos de vibración).

• cerca de una burbuja vibrante ^{[ 9 ]} de radio en reposo a, cuyo radio pulsa con amplitud relativa${\displaystyle \epsilon =\delta r/a}$(o${\displaystyle r=\epsilon a\sin(\omega t)}$), y cuyo centro de masa también se traslada periódicamente con amplitud relativa${\displaystyle \epsilon '=\delta x/a}$(o${\displaystyle x=\epsilon 'a\sin(\omega t/\phi )}$). con un cambio de fase${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \displaystyle U\sim \epsilon \epsilon 'a\omega \sin \phi }$

• lejos de las paredes ^{[ 10 ]}${\displaystyle U\sim \alpha P/(\pi \mu c)}$lejos del origen del flujo (con${\displaystyle P}$el poder acústico,${\displaystyle \mu }$la viscosidad dinámica y${\displaystyle c}$la celeridad del sonido). Más cerca del origen del flujo, la velocidad se escala como la raíz de${\displaystyle P}$.

• Se ha demostrado que incluso las especies biológicas, por ejemplo, las células adherentes, también pueden exhibir flujo acústico cuando se exponen a ondas acústicas. Las células adheridas a una superficie pueden generar flujo acústico del orden de mm/s sin desprenderse de la superficie. ^{[ 11 ]}

La investigación sobre el flujo acústico muestra muchas aplicaciones efectivas, especialmente en la manipulación de partículas, aunque su traslación al uso comercial se encuentra en etapas iniciales para la mayoría de los usos. En microfluídica , se puede utilizar para la manipulación y clasificación celular. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Estas aplicaciones pueden incluir la manipulación y clasificación celular , la administración de fármacos y la homogeneización de reactivos. El flujo acústico también es relevante para la sonoporación , ya que aumenta la permeabilidad de la membrana celular. Asimismo, se utiliza en procesos de membrana, donde puede controlar la obstrucción y aumentar la recolección de partículas. ^{[ 14 ]} También puede controlar biopelículas en otras aplicaciones. ^{[ 15 ]}

• Pinzas acústicas