Función de acumulación

En matemáticas actuariales, la función de acumulación a ( t ) es una función del tiempo t que expresa la razón entre el valor en el tiempo t ( valor futuro ) y la inversión inicial ( valor presente ). ^{[ 1 ] [ 2 ]} Se utiliza en la teoría del interés .

Por lo tanto, a (0)  =  1 y el valor en el instante t viene dado por:

${\displaystyle A(t)=A(0)\cdot a(t).}$

donde la inversión inicial es${\displaystyle A(0).}$

Para diversos protocolos de acumulación de intereses, la función de acumulación es la siguiente (donde i denota la tasa de interés y d denota la tasa de descuento ):

• interés simple :${\displaystyle a(t)=1+t\cdot i}$
• interés compuesto :${\displaystyle a(t)=(1+i)^{t}}$
• descuento simple :${\displaystyle a(t)=1+{\frac {td}{1-d}}}$
• descuento compuesto :${\displaystyle a(t)=(1-d)^{-t}}$

En el caso de una tasa de retorno positiva , como en el caso del interés, la función de acumulación es una función creciente .

El rendimiento logarítmico o compuesto continuamente , a veces llamado fuerza de interés , es una función del tiempo definida de la siguiente manera:

${\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}\,}$

que es la tasa de cambio con el tiempo del logaritmo natural de la función de acumulación.

En cambio:

${\displaystyle a(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}\delta _{u}\,du\right),}$

reduciendo a

${\displaystyle a(t)=e^{t\delta }}$

para constante${\displaystyle \delta }$.

La tasa porcentual anual efectiva en cualquier momento es:

${\displaystyle r(t)=e^{\delta _{t}}-1}$

• Valor temporal del dinero