Teorema AF+BG

En geometría algebraica, el teorema AF+BG (también conocido como el teorema fundamental de Max Noether ) es un resultado de Max Noether que afirma que, si la ecuación de una curva algebraica en el plano proyectivo complejo pertenece localmente (en cada punto de intersección) al ideal generado por las ecuaciones de otras dos curvas algebraicas, entonces pertenece globalmente a este ideal.

Sean F , G y H polinomios homogéneos en tres variables, con H de mayor grado que F y G ; sean a = deg H − deg F y b = deg H − deg G (ambos enteros positivos) las diferencias de los grados de los polinomios. Supongamos que el máximo común divisor de F y G es una constante, lo que significa que las curvas proyectivas que definen en el plano proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$⁠ tienen una intersección que consta de un número finito de puntos. Para cada punto P de esta intersección, los polinomios F y G generan un ideal ( F , G ) _P del anillo local de ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$⁠ en P (este anillo local es el anillo de las fracciones ⁠${\displaystyle {\tfrac {n}{d}},}$donde n y d son polinomios en tres variables y d ( P ) ≠ 0 ). El teorema afirma que, si H está en ( F , G ) _P para cada punto de intersecciónP , entonces H está en el ideal ( F , G ) ; es decir, hay polinomios homogéneos A y B de grados a y b , respectivamente, tales que H = AF + BG . Además, cualesquiera dos elecciones de A difieren en un múltiplo de G , y de manera similar cualesquiera dos elecciones de B difieren en un múltiplo de F .

Este teorema puede considerarse una generalización de la identidad de Bézout , que proporciona una condición bajo la cual un entero o un polinomio univariado h puede expresarse como un elemento del ideal generado por otros dos enteros o polinomios univariados f y g : dicha representación existe precisamente cuando h es un múltiplo del máximo común divisor de f y g . La condición AF+BG expresa, en términos de divisores (conjuntos de puntos, con multiplicidades), una condición similar bajo la cual un polinomio homogéneo H en tres variables puede escribirse como un elemento del ideal generado por otros dos polinomios F y G.

Este teorema es también un refinamiento, para este caso particular, del Nullstellensatz de Hilbert , que proporciona una condición que expresa que alguna potencia de un polinomio h (en cualquier número de variables) pertenece al ideal generado por un conjunto finito de polinomios.

• Fulton, William (2008), "5.5 Teorema fundamental de Max Noether y 5.6 Aplicaciones del teorema de Noether", Curvas algebraicas: Una introducción a la geometría algebraica ( PDF) , págs. 60–65 .
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978), Principios de geometría algebraica , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9.

• Weisstein, Eric W. , "El teorema fundamental de Noether" , MathWorld