65.537

65537 es el número entero que sigue a 65536 y precede a 65538.

65537 es el mayor número primo conocido de la forma${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$(${\displaystyle n=4}$), y es muy probablemente el último. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, un polígono regular con 65537 lados es construible con compás y regla sin marcar. Johann Gustav Hermes dio la primera construcción explícita de este polígono. En teoría de números, los primos de esta forma se conocen como primos de Fermat , llamados así en honor al matemático Pierre de Fermat . Los únicos números primos de Fermat conocidos son

${\displaystyle 2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3,}$

${\displaystyle 2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5,}$

${\displaystyle 2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17,}$

${\displaystyle 2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257,}$

${\displaystyle 2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537.}$^{[ 2 ]}

En 1732, Leonhard Euler descubrió que el siguiente número de Fermat es compuesto:

${\displaystyle 2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417}$

En 1880, Fortuné Landry demostró que

${\displaystyle 2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=274177\times 67280421310721}$

65537 es también el 17º número de Jacobsthal-Lucas y actualmente el entero n más grande conocido para el cual el número${\displaystyle 10^{n}+27}$es un primo probable . ^{[ 3 ]}

65537 se usa comúnmente como exponente público en el sistema criptográfico RSA . Debido a que es el número de Fermat F _n = 2 ^{2 n} + 1 con n = 4 , la abreviatura común es "F ₄ " o "F4". ^{[ 4 ]} Este valor se usó en RSA principalmente por razones históricas; las primeras implementaciones de RSA sin relleno adecuado eran vulnerables a exponentes muy pequeños, mientras que el uso de exponentes altos era computacionalmente costoso sin ninguna ventaja para la seguridad (suponiendo un relleno adecuado). ^{[ 5 ]}

65537 también se utiliza como módulo en algunos generadores de números aleatorios de Lehmer , como el utilizado por ZX Spectrum , ^{[ 6 ]} que garantiza que cualquier valor semilla será coprimo con él (vital para garantizar el período máximo) al tiempo que permite una reducción eficiente por el módulo utilizando un desplazamiento de bits y una resta.